A concentração de no ar de uma sala com capacidade de é de . Começa a ser bombeado para dentro da sala ar contendo de à razão de por minuto. Após bem misturado, a mesma quantidade de ar deixa a sala.
Depois de quanto tempo será atingida uma concentração de de ?

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sala de 5000 metros cúbicos com 0,3% de dióxido de carbono ( ) no ar. A gente vai bombear ar limpo, que tem só 0,1% de , entrando na sala a uma taxa de 100 metros cúbicos por minuto. Ao mesmo tempo, a mesma quantidade de ar está saindo da sala. A pergunta é: quanto tempo leva para a concentração de na sala chegar a 0,2%? Vamos usar conceitos de mistura e equações diferenciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis importantes:
  • Volume da sala ( ): 5000 m³
  • Concentração inicial de ( ): 0,3%
  • Concentração do ar que entra ( ): 0,1%
  • Taxa de fluxo de ar ( ): 100 m³/min
  • Concentração alvo ( ): 0,2%

Passo 3

A gente precisa montar uma equação que descreva como a concentração de muda com o tempo. A ideia é que o ar que entra traz novo, e o ar que sai retira do ambiente. A variação da concentração ao longo do tempo é dada por:
Onde:
  • representa a taxa de mudança da concentração de no tempo.
  • é o volume da sala.
  • é a taxa de fluxo de ar.
  • é a concentração do ar que entra.
  • é a concentração atual de na sala.

Passo 4

Vamos rearranjar a equação para isolar :
Substituindo os valores que a gente conhece:
Simplificando:

Passo 5

Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver. A solução geral para essa equação é:
Vamos substituir os valores:

Passo 6

Queremos encontrar o tempo quando . Então, igualamos a equação a 0,2 e resolvemos para :
Subtraindo 0,1 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 0,2:

Passo 7

Agora, aplicamos o logaritmo natural para resolver para :
Isolando :
Calculando o valor:

Resposta

Após aproximadamente 34,66 minutos, a concentração de na sala atinge 0,2%.

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Uma força eletromotriz de 100 cost é aplicada a um circuito RC em série no qual a resistência é de 100 ohms e o capacitor de farad. (Num circuito em série com uma resistência , um capacitor e força eletromotriz a carga no capacitor satisfaz a equação . )
Determine a carga no capacitor no instante t, sabendo que a carga inicial é
Resolva as equações diferenciais abaixo:
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