A concentração de CO2 no ar de uma sala com capacidade de 5000 m^3 é de 0,3%. Começa a ser bombeado para dentro da sala ar contendo 0,1 % de CO2 à razão de 100 m^3 por minuto. Após bem misturado, a mesma quantidade de ar deixa a sala.
Depois de quanto tempo será atingida uma concentração de CO2 de 0,2 % ?

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sala de 5000 metros cúbicos com 0,3% de dióxido de carbono ( CO2) no ar. A gente vai bombear ar limpo, que tem só 0,1% de CO2, entrando na sala a uma taxa de 100 metros cúbicos por minuto. Ao mesmo tempo, a mesma quantidade de ar está saindo da sala. A pergunta é: quanto tempo leva para a concentração de CO2 na sala chegar a 0,2%? Vamos usar conceitos de mistura e equações diferenciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis importantes:
  • Volume da sala ( V): 5000 m³
  • Concentração inicial de CO2 ( ): 0,3%
  • Concentração do ar que entra ( ): 0,1%
  • Taxa de fluxo de ar ( Q): 100 m³/min
  • Concentração alvo ( C(t)): 0,2%

Passo 3

A gente precisa montar uma equação que descreva como a concentração de CO2 muda com o tempo. A ideia é que o ar que entra traz CO2 novo, e o ar que sai retira CO2 do ambiente. A variação da concentração ao longo do tempo é dada por:
Onde:
  • representa a taxa de mudança da concentração de CO2 no tempo.
  • V é o volume da sala.
  • Q é a taxa de fluxo de ar.
  • é a concentração do ar que entra.
  • C(t) é a concentração atual de CO2 na sala.

Passo 4

Vamos rearranjar a equação para isolar :
Substituindo os valores que a gente conhece:
Simplificando:

Passo 5

Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver. A solução geral para essa equação é:
Vamos substituir os valores:

Passo 6

Queremos encontrar o tempo t quando . Então, igualamos a equação a 0,2 e resolvemos para t:
Subtraindo 0,1 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 0,2:

Passo 7

Agora, aplicamos o logaritmo natural para resolver para t:
Isolando t:
Calculando o valor:

Resposta

Após aproximadamente 34,66 minutos, a concentração de CO2 na sala atinge 0,2%.

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