A concentração de
no ar de uma sala com capacidade de
é de
. Começa a ser bombeado para dentro da sala ar contendo
de
à razão de
por minuto. Após bem misturado, a mesma quantidade de ar deixa a sala.
Depois de quanto tempo será atingida uma concentração de
de
?
Depois de quanto tempo será atingida uma concentração de
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sala de 5000 metros cúbicos com 0,3% de dióxido de carbono (
) no ar. A gente vai bombear ar limpo, que tem só 0,1% de
, entrando na sala a uma taxa de 100 metros cúbicos por minuto. Ao mesmo tempo, a mesma quantidade de ar está saindo da sala. A pergunta é: quanto tempo leva para a concentração de
na sala chegar a 0,2%? Vamos usar conceitos de mistura e equações diferenciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis importantes:
- Volume da sala (
): 5000 m³ - Concentração inicial de
( ): 0,3% - Concentração do ar que entra (
): 0,1% - Taxa de fluxo de ar (
): 100 m³/min - Concentração alvo (
): 0,2%
Passo 3
A gente precisa montar uma equação que descreva como a concentração de
muda com o tempo. A ideia é que o ar que entra traz
novo, e o ar que sai retira
do ambiente. A variação da concentração ao longo do tempo é dada por:
Onde:
-
representa a taxa de mudança da concentração de no tempo. -
é o volume da sala. -
é a taxa de fluxo de ar. -
é a concentração do ar que entra. -
é a concentração atual de na sala.
Passo 4
Vamos rearranjar a equação para isolar
:
Substituindo os valores que a gente conhece:
Simplificando:
Passo 5
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver. A solução geral para essa equação é:
Vamos substituir os valores:
Passo 6
Queremos encontrar o tempo
quando
. Então, igualamos a equação a 0,2 e resolvemos para
:
Subtraindo 0,1 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 0,2:
Passo 7
Agora, aplicamos o logaritmo natural para resolver para
:
Isolando
:
Calculando o valor:
Resposta
Após aproximadamente 34,66 minutos, a concentração de
na sala atinge 0,2%.
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Resolva as equações diferenciais abaixo:
Uma força eletromotriz de 100 cost é aplicada a um circuito RC em série no qual a resistência é de 100 ohms e o capacitor de
farad. (Num circuito
em série com uma resistência
, um capacitor
e força eletromotriz
a carga
no capacitor satisfaz a equação
. )
Determine a carga no capacitor no instante t, sabendo que a carga inicial é
Determine a carga no capacitor no instante t, sabendo que a carga inicial é
Resolva as equações diferenciais abaixo:
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