Resolva as equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. Não se preocupa, vou explicar cada passo de forma simples!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação. Ela está no formato padrão de uma equação diferencial linear:
Onde:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. A fórmula para o fator integrante
é:
Então, vamos calcular:
Passo 4
Com o fator integrante encontrado, multiplicamos toda a equação original por
:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto
. Assim, podemos reescrever a equação como:
Passo 6
Para encontrar
, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico da seguinte função
.
Resolva as equações diferenciais abaixo:
Seja
a temperatura no instante
de um corpo imerso em um meio de temperatura constante
. A lei do resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de
é diretamente proporcional à diferença
, isto é,
. Considere um corpo aquecido a
é posto em um ambiente a
e sabe-se que em 5 min sua temperatura é de
.
Encontre a expressão de como função de
Encontre a expressão de
Resolva as equações diferenciais abaixo: