Resolva as equações diferenciais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. Não se preocupa, vou explicar cada passo de forma simples!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação. Ela está no formato padrão de uma equação diferencial linear:
Onde:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. A fórmula para o fator integrante é:
Então, vamos calcular:

Passo 4

Com o fator integrante encontrado, multiplicamos toda a equação original por :

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto . Assim, podemos reescrever a equação como:

Passo 6

Para encontrar , integramos ambos os lados em relação a :
Isso simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, resolvemos para dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Esboce o gráfico da seguinte função .
Resolva as equações diferenciais abaixo:
Seja a temperatura no instante de um corpo imerso em um meio de temperatura constante . A lei do resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de é diretamente proporcional à diferença , isto é, . Considere um corpo aquecido a é posto em um ambiente a e sabe-se que em 5 min sua temperatura é de .
Encontre a expressão de como função de
Resolva as equações diferenciais abaixo: