Resolva as equações diferenciais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial para resolver: . Isso faz parte do estudo das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante, uma técnica que facilita encontrar a solução dessas equações. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é . No nosso caso, temos:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante ( ). Ele é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Ou seja:
Isso facilita muito, porque agora temos uma equação mais simples para integrar.

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para , e o lado direito fica:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, isolamos para encontrar a solução geral:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Considere a função
Escreva a equação reduzida das curvas de nível da função referentes aos níveis e e represente-as no mesmo plano cartesiano.
Determine os intervalos nos quais é crescente e nos quais é decrescente.
Esboce o gráfico da seguinte função .
Resolva as equações diferenciais abaixo: