Resolva as equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial para resolver:
. Isso faz parte do estudo das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante, uma técnica que facilita encontrar a solução dessas equações. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é
. No nosso caso, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante (
). Ele é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Isso facilita muito, porque agora temos uma equação mais simples para integrar.
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para
, e o lado direito fica:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, isolamos
para encontrar a solução geral:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Considere a função
Escreva a equação reduzida das curvas de nível da função referentes aos níveis
e
e represente-as no mesmo plano cartesiano.
Escreva a equação reduzida das curvas de nível da função
Determine os intervalos nos quais
é crescente e nos quais é decrescente.
Esboce o gráfico da seguinte função
.
Resolva as equações diferenciais abaixo: