Resolva as equações diferenciais lineares de primeira ordem (indicando o intervalo onde elas são válidas) e, quando for o caso, os problemas de valor inicial abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! Primeiro, vamos dar uma olhada no enunciado:
Temos a equação diferencial linear de primeira ordem:
com a condição inicial:
e o intervalo válido é para
.
Vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem, que têm a forma geral:
Aqui, iremos identificar
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão
. Para isso, dividimos toda a equação por
(lembrando que
):
Agora, identificamos:
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pela
:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
onde
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Vamos calcular os termos numéricos:
então:
Subtraindo
de ambos os lados:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
válida para
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Determine uma fórmula para
nas funções
e
indicadas.
© e
;
©
Resolva as equações diferenciais lineares de primeira ordem (indicando o intervalo onde elas são válidas) e, quando for o caso, os problemas de valor inicial abaixo:
Resolva as equações diferenciais lineares de primeira ordem (indicando o intervalo onde elas são válidas) e, quando for o caso, os problemas de valor inicial abaixo:
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