Resolva as equações diferenciais lineares de primeira ordem (indicando o intervalo onde elas são válidas) e, quando for o caso, os problemas de valor inicial abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! Primeiro, vamos dar uma olhada no enunciado:
Temos a equação diferencial linear de primeira ordem:

com a condição inicial:
e o intervalo válido é para .
Vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem, que têm a forma geral:

Aqui, iremos identificar e e usar o método do fator integrante para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão . Para isso, dividimos toda a equação por (lembrando que ):
Agora, identificamos:

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante , que é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pela :
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :

onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, resolvemos para :
Simplificando:

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar :
Vamos calcular os termos numéricos:
então:
Subtraindo de ambos os lados:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

válida para .

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