Resolva as equações diferenciais lineares de primeira ordem (indicando o intervalo onde elas são válidas) e, quando for o caso, os problemas de valor inicial abaixo:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos que resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
. Para isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica comum para resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante
. Esse fator é dado por:
Vamos calcular:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica para:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Isso nos facilita a integração, pois agora temos uma derivada igual a uma função conhecida.
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
O que resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária. Essa solução é válida para todo o conjunto dos números reais, ou seja, para todo
.
Exercícios relacionados
Verificar se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados:
Verificar se as seguintes limites existem
Determine uma fórmula para
nas funções
e
indicadas.
© e
;
©
Resolva as equações diferenciais lineares de primeira ordem (indicando o intervalo onde elas são válidas) e, quando for o caso, os problemas de valor inicial abaixo: