Resolva as equações diferenciais lineares de primeira ordem (indicando o intervalo onde elas são válidas) e, quando for o caso, os problemas de valor inicial abaixo:
y' + y = e^(3 x)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos que resolver a equação diferencial linear de primeira ordem . Para isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica comum para resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante mu(x). Esse fator é dado por:
Vamos calcular:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(x):
Isso simplifica para:

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Ou seja:
Isso nos facilita a integração, pois agora temos uma derivada igual a uma função conhecida.

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a x:
O que resulta em:
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, isolamos y dividindo ambos os lados por e^x:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde C é uma constante arbitrária. Essa solução é válida para todo o conjunto dos números reais, ou seja, para todo x em R.

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