Resolva as equações diferenciais lineares de primeira ordem (indicando o intervalo onde elas são válidas) e, quando for o caso, os problemas de valor inicial abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que é linear. A equação que temos é:
Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar reorganizá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é:
Vamos precisar identificar e para aplicar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir ambos os lados da equação original por para isolar :
Agora, vamos reorganizar os termos para ter a equação na forma :
Aqui, identificamos que:

Passo 3

Para resolver essa equação, precisamos encontrar um fator integrante que é dado por:
Vamos calcular a integral de :
Podemos simplificar a fração:
Então, a integral fica:
Portanto, o fator integrante é:
Como está no denominador original, assumimos para simplificar, então .

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pela :
Simplificando:
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Vamos calcular a integral do lado direito:
Fazendo a substituição , :
Então, temos:

Passo 6

Agora, resolvemos para :
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Válida para .

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