Resolva as equações diferenciais lineares de primeira ordem (indicando o intervalo onde elas são válidas) e, quando for o caso, os problemas de valor inicial abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que é linear. A equação que temos é:
Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar reorganizá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é:
Vamos precisar identificar
e
para aplicar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir ambos os lados da equação original por
para isolar
:
Agora, vamos reorganizar os termos para ter a equação na forma
:
Aqui, identificamos que:
Passo 3
Para resolver essa equação, precisamos encontrar um fator integrante
que é dado por:
Vamos calcular a integral de
:
Podemos simplificar a fração:
Então, a integral fica:
Portanto, o fator integrante é:
Como
está no denominador original, assumimos
para simplificar, então
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pela
:
Simplificando:
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Vamos calcular a integral do lado direito:
Fazendo a substituição
,
:
Então, temos:
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Válida para
.
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Determine uma fórmula para
nas funções
e
indicadas.
© e
;
©
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