Resolva as equações diferenciais.
m(x-1) dy - y dx = (x-1)² e^(y/(x-1)) dx.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você me passou. A gente vai trabalhar com equações diferenciais de primeira ordem aqui. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição inteligente que simplifica a equação e facilita a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para deixar a equação mais manejável. Vamos definir:
Isso significa que . Essa substituição vai ajudar a eliminar a parte complicada do expoente na nossa equação original.

Passo 3

Agora, precisamos descobrir como se relaciona com e . Diferenciando em relação a , temos:

Passo 4

Vamos substituir e na equação diferencial original:
Substituindo:

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:
  1. já está simplificado
Juntando tudo:
Perceba que e se cancelam:

Passo 6

Agora, podemos dividir ambos os lados por (desde que ):
Essa é uma equação separável, onde podemos isolar e .

Passo 7

Vamos separar as variáveis:
Agora, integramos ambos os lados:
A integral de em relação a é , e a integral de é , onde é a constante de integração.
Então:

Passo 8

Vamos resolver para :
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Multiplicando por -1:
Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 9

Finalmente, isolamos :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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Resolva as equações diferenciais.
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