Resolva as equações diferenciais.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você me passou. A gente vai trabalhar com equações diferenciais de primeira ordem aqui. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição inteligente que simplifica a equação e facilita a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para deixar a equação mais manejável. Vamos definir:
Isso significa que
. Essa substituição vai ajudar a eliminar a parte complicada do expoente na nossa equação original.
Passo 3
Agora, precisamos descobrir como
se relaciona com
e
. Diferenciando
em relação a
, temos:
Passo 4
Vamos substituir
e
na equação diferencial original:
Substituindo:
Passo 5
Vamos simplificar cada termo:
-
-
-
já está simplificado
Juntando tudo:
Perceba que
e
se cancelam:
Passo 6
Agora, podemos dividir ambos os lados por
(desde que
):
Essa é uma equação separável, onde podemos isolar
e
.
Passo 7
Vamos separar as variáveis:
Agora, integramos ambos os lados:
A integral de
em relação a
é
, e a integral de
é
, onde
é a constante de integração.
Então:
Passo 8
Vamos resolver para
:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Multiplicando por -1:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 9
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
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