Resolva as equações diferenciais.
, com
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a equação nos pede. Temos uma equação diferencial
, onde
. O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais de primeira ordem, e vamos precisar usar substituições e métodos para resolver equações lineares.
Passo 2
Vamos começar reorganizando a equação para isolar
. Subtraímos
de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por
:
Isso nos dá uma forma mais manejável para trabalharmos com a equação.
Passo 3
Observamos que a equação é não linear devido ao termo
. Para simplificar, fazemos uma substituição
. Assim,
e
. Substituindo na equação original:
Simplificando:
Dividindo tudo por
:
Passo 4
Vamos isolar
:
Dividindo por
:
Para resolver essa equação linear, identificamos
e
. Calculamos o fator integrante:
Multiplicando toda a equação por
:
O lado esquerdo agora é a derivada de
:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Resolvendo para
:
Lembrando que
, temos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde
é uma constante arbitrária.
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