Resolva as equações diferenciais.
x dy + y dx = 2 raiz(xy) ln(x) dx, com x > 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a equação nos pede. Temos uma equação diferencial , onde . O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais de primeira ordem, e vamos precisar usar substituições e métodos para resolver equações lineares.

Passo 2

Vamos começar reorganizando a equação para isolar . Subtraímos de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por :
Isso nos dá uma forma mais manejável para trabalharmos com a equação.

Passo 3

Observamos que a equação é não linear devido ao termo . Para simplificar, fazemos uma substituição . Assim, e . Substituindo na equação original:
Simplificando:
Dividindo tudo por :

Passo 4

Vamos isolar :
Dividindo por :
Para resolver essa equação linear, identificamos e . Calculamos o fator integrante:
Multiplicando toda a equação por :
O lado esquerdo agora é a derivada de :
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Resolvendo para :
Lembrando que , temos:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
onde é uma constante arbitrária.

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