Resolva os problemas de valor inicial:
x y' + 2 y = e^x + ln(x) ; x > 0, y(1) = 3/4.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente precisa resolver uma equação diferencial de primeira ordem com uma condição inicial. A equação é:
Para resolver isso, vamos usar o método de equações diferenciais lineares, que envolve encontrar um fator integrante. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Para isso, dividimos toda a equação por x:
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Vamos calcular a integral de P(x):
Então, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(x):
Isso simplifica a equação para a forma:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados com respeito a x para encontrar x^2 y:
Vamos resolver as integrais separadamente.

Passo 6

Primeiro, a integral de x e^x:
Usando integração por partes, onde e :

Passo 7

Agora, a integral de x ln x:
Também usando integração por partes, onde e :

Passo 8

Juntando tudo, temos:
Simplificando:

Passo 9

Agora, resolvemos para y dividindo tudo por x^2:

Passo 10

Usamos a condição inicial para encontrar a constante C:
Sabendo que , , temos:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Resolva os problemas de valor inicial:
x dy/dx + x y = 1 - y, x > 0, y(1) = 0
Resolva as equações diferenciais.
y' + x * y = 6 * x * raiz(y)
Resolva as equações diferenciais.
m(x-1) dy - y dx = (x-1)² e^(y/(x-1)) dx.
Resolva as equações diferenciais.
x dy + y dx = 2 raiz(xy) ln(x) dx, com x > 0.