Resolva os problemas de valor inicial:
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente precisa resolver uma equação diferencial de primeira ordem com uma condição inicial. A equação é:
Para resolver isso, vamos usar o método de equações diferenciais lineares, que envolve encontrar um fator integrante. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Para isso, dividimos toda a equação por
:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Vamos calcular a integral de
:
Então, o fator integrante é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica a equação para a forma:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados com respeito a
para encontrar
:
Vamos resolver as integrais separadamente.
Passo 6
Primeiro, a integral de
:
Usando integração por partes, onde e
:
Usando integração por partes, onde
Passo 7
Agora, a integral de
:
Também usando integração por partes, onde e
:
Também usando integração por partes, onde
Passo 8
Juntando tudo, temos:
Simplificando:
Passo 9
Agora, resolvemos para
dividindo tudo por
:
Passo 10
Usamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Sabendo que
,
, temos:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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, com
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