Resolva os problemas de valor inicial:
Passo 1
Nesse exercício, a gente precisa resolver uma equação diferencial com uma condição inicial. A matéria envolvida é Equações Diferenciais de Primeira Ordem, mais especificamente, equações lineares. Vamos usar o método de resolução para equações diferenciais lineares para encontrar a solução dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Vamos dividir todos os termos por
para isolar
:
Simplificando o lado direito:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar os termos para ter:
Fatorando
no lado esquerdo:
Isso coloca a equação na forma:
onde
e
.
Passo 4
Para resolver essa equação, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Como
, podemos simplificar para:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando:
Passo 6
Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Passo 7
Resolvendo para
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Passo 9
Substituindo
na solução geral:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
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