Resolva os problemas de valor inicial:
x dy/dx + x y = 1 - y, x > 0, y(1) = 0

Passo 1

Nesse exercício, a gente precisa resolver uma equação diferencial com uma condição inicial. A matéria envolvida é Equações Diferenciais de Primeira Ordem, mais especificamente, equações lineares. Vamos usar o método de resolução para equações diferenciais lineares para encontrar a solução dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Vamos dividir todos os termos por para isolar :
Simplificando o lado direito:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar os termos para ter:
Fatorando no lado esquerdo:
Isso coloca a equação na forma:
onde e .

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Como , podemos simplificar para:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando:

Passo 6

Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto :
Integrando ambos os lados em relação a :

Passo 7

Resolvendo para :

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :

Passo 9

Substituindo na solução geral:

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

Exercícios relacionados

Resolva as equações diferenciais.
y' + x * y = 6 * x * raiz(y)
Resolva os problemas de valor inicial:
(2y + raiz(x^2 - y^2)) dx - 2x dy = 0, x > 0 ; y(1) = 0
Resolva os problemas de valor inicial:
x y' + 2 y = e^x + ln(x) ; x > 0, y(1) = 3/4.
Resolva as equações diferenciais.
m(x-1) dy - y dx = (x-1)² e^(y/(x-1)) dx.