Resolva as equações diferenciais pelo Método dos Coeficientes Indeterminados.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando o Método dos Coeficientes Indeterminados. Esse método é útil pra resolver equações diferenciais lineares onde o lado direito (não homogêneo) é uma função que a gente consegue adivinhar uma forma de solução. Precisamos achar duas partes: a solução da equação homogênea associada e uma solução particular que se ajusta ao lado não homogêneo.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, achamos a equação característica substituindo
por
, resultando em
. Resolvendo a equação quadrática:
Então, as raízes são
e
. Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos achar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é
, tentamos uma solução na forma:
Aqui,
e
são coeficientes que precisamos determinar. Vamos calcular as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes de
e
devem ser iguais nos dois lados da equação:
Agora, resolvemos esse sistema de equações:
Da equação (1):
Substituindo
na equação (2):
Então:
Portanto, a solução particular é:
Passo 4
Finalmente, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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.
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, em que
Resolva o problema de valor inicial
e
.