Resolva as equações diferenciais pelo Método dos Coeficientes Indeterminados.
© y'' - y' - 2y = sen(2x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o Método dos Coeficientes Indeterminados. Esse método é útil pra resolver equações diferenciais lineares onde o lado direito (não homogêneo) é uma função que a gente consegue adivinhar uma forma de solução. Precisamos achar duas partes: a solução da equação homogênea associada e uma solução particular que se ajusta ao lado não homogêneo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, achamos a equação característica substituindo por , resultando em . Resolvendo a equação quadrática:
Então, as raízes são e . Portanto, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos achar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é , tentamos uma solução na forma:
Aqui, e são coeficientes que precisamos determinar. Vamos calcular as derivadas de :
Substituindo , e na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes de e devem ser iguais nos dois lados da equação:
Agora, resolvemos esse sistema de equações:
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Então:
Portanto, a solução particular é:

Passo 4

Finalmente, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace: y'' - 2y' + y = e^(2t), y(0) = 0, y'(0) = 0.
Determine a transformada de Laplace inversa das funções F(s) = (2s - 5) / (s^2 (s^2 + s - 12))
Resolva os problemas de valor inicial: y'' + 3 y' + 2 y = f(t), y(0) = 0, y'(0) = 1, em que f(t) = { 0, para 0 <= t < 2; 1, para t >= 2 }
Resolva o problema de valor inicial y'' + y = 4x + 10 sen(x), y(pi) = 0 e y'(0) = 2.