Resolva os problemas de valor inicial: y'' + 3 y' + 2 y = f(t), y(0) = 0, y'(0) = 1, em que f(t) = { 0, para 0 <= t < 2; 1, para t >= 2 }

Passo 1

Beleza! Vamos resolver um problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é , onde é uma função que muda de 0 para 1 quando chega a 2. Para resolver isso, vamos precisar entender equações diferenciais lineares, métodos de solução para equações homogêneas e não homogêneas, e a transformada de Laplace para lidar com as condições iniciais e a função por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, encontramos as raízes da equação característica: . Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as raízes são e .

Passo 3

Com as raízes, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, vamos resolver a parte não homogênea da equação, ou seja, encontrar uma solução particular para . Como é uma função por partes, usaremos a transformada de Laplace para facilitar o processo.

Passo 5

Aplicando a transformada de Laplace na equação diferencial, lembrando que e :
Sabemos que:

Passo 6

Substituindo na equação transformada:
Fatorando :

Passo 7

Resolvendo para :
Podemos fatorar o denominador:
Então:

Passo 8

Realizando frações parciais para a primeira parcela:
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar e , escolhemos valores de :
  • Para :
  • Para :
Então:

Passo 9

Agora, vamos lidar com a segunda parcela . Primeiro, faremos frações parciais para :
Multiplicando por :
Escolhendo :
Escolhendo :
Escolhendo :
Então:

Passo 10

Agora, voltando à expressão de :

Passo 11

Aplicando a transformada inversa de Laplace:
Onde é a função degrau de Heaviside que ativa a solução a partir de .

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Resolva as equações diferenciais pelo Método dos Coeficientes Indeterminados.
© y'' - y' - 2y = sen(2x)
Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace: y'' - 2y' + y = e^(2t), y(0) = 0, y'(0) = 0.
Resolva o problema de valor inicial y'' + y = 4x + 10 sen(x), y(pi) = 0 e y'(0) = 2.
Resolva o problema de valor inicial:
y^(4) - y = delta(t), y(0) = y'(0) = y''(0) = y^(3)(0) = 0