Resolva os problemas de valor inicial:
, em que
Passo 1
Beleza! Vamos resolver um problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é
, onde
é uma função que muda de 0 para 1 quando
chega a 2. Para resolver isso, vamos precisar entender equações diferenciais lineares, métodos de solução para equações homogêneas e não homogêneas, e a transformada de Laplace para lidar com as condições iniciais e a função por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, encontramos as raízes da equação característica:
. Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as raízes são
e
.
Passo 3
Com as raízes, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, vamos resolver a parte não homogênea da equação, ou seja, encontrar uma solução particular
para
. Como
é uma função por partes, usaremos a transformada de Laplace para facilitar o processo.
Passo 5
Aplicando a transformada de Laplace na equação diferencial, lembrando que
e
:
Sabemos que:
Passo 6
Substituindo na equação transformada:
Fatorando
:
Passo 7
Resolvendo para
:
Podemos fatorar o denominador:
Então:
Passo 8
Realizando frações parciais para a primeira parcela:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar
e
, escolhemos valores de
:
- Para
:
- Para
:
Então:
Passo 9
Agora, vamos lidar com a segunda parcela
. Primeiro, faremos frações parciais para
:
Multiplicando por
:
Escolhendo
:
Escolhendo
:
Escolhendo
:
Então:
Passo 10
Agora, voltando à expressão de
:
Passo 11
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
Onde
é a função degrau de Heaviside que ativa a solução a partir de
.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Resolva as equações diferenciais pelo Método dos Coeficientes Indeterminados.
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Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
.
Resolva o problema de valor inicial
e
.
Resolva o problema de valor inicial: