Resolva o problema de valor inicial
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A questão nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
E dois valores iniciais:
Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares, encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular para a parte não homogênea. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, onde o lado direito é zero:
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é dada por:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais depois.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Vamos dividir isso em duas partes: uma solução particular para
e outra para
.
Primeiro, para o termo
, assumimos uma forma de solução particular como um polinômio:
Derivando:
Substituindo na equação:
Comparando os coeficientes:
Então, a solução particular para essa parte é:
Passo 4
Agora, para o termo
, suponhamos uma solução particular na forma:
Derivando:
Substituindo na equação:
Oops! Isso significa que nossa suposição inicial está nos levando a uma contradição porque
e
já fazem parte da solução homogênea. Para resolver isso, multiplicamos nossa suposição por
:
Derivando novamente:
Substituindo na equação:
Comparando os coeficientes:
Então, a soluç��o particular para essa parte é:
Passo 5
Agora, juntamos as soluções particulares:
E a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 6
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes
e
.
Primeiro, vamos usar
:
Passo 7
Agora, usamos a segunda condição inicial
. Primeiro, encontramos a derivada de
:
Agora, substituímos
:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
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