Resolva o problema de valor inicial y'' + y = 4x + 10 sen(x), y(pi) = 0 e y'(0) = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A questão nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
E dois valores iniciais:
Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares, encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular para a parte não homogênea. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, onde o lado direito é zero:
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é dada por:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais depois.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Vamos dividir isso em duas partes: uma solução particular para e outra para .
Primeiro, para o termo , assumimos uma forma de solução particular como um polinômio:
Derivando:
Substituindo na equação:
Comparando os coeficientes:
Então, a solução particular para essa parte é:

Passo 4

Agora, para o termo , suponhamos uma solução particular na forma:
Derivando:
Substituindo na equação:
Oops! Isso significa que nossa suposição inicial está nos levando a uma contradição porque sen x e cos(x) já fazem parte da solução homogênea. Para resolver isso, multiplicamos nossa suposição por x:
Derivando novamente:
Substituindo na equação:
Comparando os coeficientes:
Então, a soluç��o particular para essa parte é:

Passo 5

Agora, juntamos as soluções particulares:
E a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:

Passo 6

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes e .
Primeiro, vamos usar :

Passo 7

Agora, usamos a segunda condição inicial . Primeiro, encontramos a derivada de y(x):
Agora, substituímos x = 0:

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:

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