Resolva as equações diferenciais, onde e são funções conhecidas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que envolve funções conhecidas e , e uma função que a gente quer descobrir, chamada . O conteúdo que vamos usar é o de equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Precisamos encontrar que faz essa equação ser exata, ou seja, que permita resolver a equação de forma mais fácil.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a equação ser exata. Em equações diferenciais, uma equação do tipo é exata se a derivada de em relação a for igual à derivada de em relação a . Matemáticamente, isso é:
Na nossa equação, temos:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos aplicar a condição de exatidão à nossa equação. Primeiro, derivamos em relação a :
Já que depende só de , a derivada em relação a é apenas aplicada a .
Agora, derivamos em relação a :
Aqui usamos a regra do produto, já que depende de .

Passo 4

Igualando as duas derivadas para cumprir a condição de exatidão, temos:
Vamos rearranjar para isolar :
Agora, dividimos ambos os lados por :
Observe que o lado esquerdo depende só de , então o lado direito também deve depender só de para que a equação seja válida.

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial para :
Podemos reescrever isso como:
Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para :
Como é apenas uma constante multiplicativa, podemos simplificar para:
Onde é uma constante.

Resposta

A função que resolve a equação diferencial dada é:
Onde é uma constante de integração.

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Resolva as equações diferenciais, onde e são funções conhecidas: