Resolva as equações diferenciais, onde
e
são funções conhecidas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que envolve funções conhecidas
e
, e uma função que a gente quer descobrir, chamada
. O conteúdo que vamos usar é o de equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Precisamos encontrar
que faz essa equação ser exata, ou seja, que permita resolver a equação de forma mais fácil.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a equação ser exata. Em equações diferenciais, uma equação do tipo
é exata se a derivada de
em relação a
for igual à derivada de
em relação a
. Matemáticamente, isso é:
Na nossa equação, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos aplicar a condição de exatidão à nossa equação. Primeiro, derivamos
em relação a
:
Já que
depende só de
, a derivada em relação a
é apenas aplicada a
.
Agora, derivamos
em relação a
:
Aqui usamos a regra do produto, já que
depende de
.
Passo 4
Igualando as duas derivadas para cumprir a condição de exatidão, temos:
Vamos rearranjar para isolar
:
Agora, dividimos ambos os lados por
:
Observe que o lado esquerdo depende só de
, então o lado direito também deve depender só de
para que a equação seja válida.
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial para
:
Podemos reescrever isso como:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Como
é apenas uma constante multiplicativa, podemos simplificar para:
Onde
é uma constante.
Resposta
A função
que resolve a equação diferencial dada é:
Onde
é uma constante de integração.
Exercícios relacionados
Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais: