(2,0) Resolva as equações diferenciais, onde F(x, y) e G(x, y) são funções conhecidas:
partialpartial y[mu(x) F(x, y)]=partialpartial x[mu(x) G(x, y)]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que envolve funções conhecidas e , e uma função que a gente quer descobrir, chamada . O conteúdo que vamos usar é o de equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Precisamos encontrar que faz essa equação ser exata, ou seja, que permita resolver a equação de forma mais fácil.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a equação ser exata. Em equações diferenciais, uma equação do tipo partial Mpartial y = partial Npartial x é exata se a derivada de partialpartial y[mu(x) F(x, y)] = partialpartial x[mu(x) G(x, y)] em relação a for igual à derivada de em relação a . Matemáticamente, isso é:
Na nossa equação, temos:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos aplicar a condição de exatidão à nossa equação. Primeiro, derivamos partialpartial y[mu(x) F(x, y)] = mu(x) partial Fpartial y em relação a partialpartial x[mu(x) G(x, y)] = mu'(x) G(x, y) + mu(x) partial Gpartial x :
Já que depende só de , a derivada em relação a é apenas aplicada a .
Agora, derivamos em relação a :
Aqui usamos a regra do produto, já que depende de .

Passo 4

Igualando as duas derivadas para cumprir a condição de exatidão, temos:
mu(x) partial Fpartial y = mu'(x) G(x, y) + mu(x) partial Gpartial x
Vamos rearranjar para isolar mu'(x) G(x, y) = mu(x) ( partial Fpartial y - partial Gpartial x ) :
mu'(x)mu(x) = partial Fpartial y - partial Gpartial xG(x, y)
Agora, dividimos ambos os lados por :
Observe que o lado esquerdo depende só de , então o lado direito também deve depender só de para que a equação seja válida.

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial para mu'(x)mu(x) = partial Fpartial y - partial Gpartial xG(x, y) :
ddx ln(mu(x)) = partial Fpartial y - partial Gpartial xG(x, y)
Podemos reescrever isso como:
ln(mu(x)) = integral partial Fpartial y - partial Gpartial xG(x, y) , dx + C
Integrando ambos os lados em relação a mu(x) = e^integral partial Fpartial y - partial Gpartial xG(x, y) , dx cdot e^C :
mu(x) = K cdot e^integral partial Fpartial y - partial Gpartial xG(x, y) , dx
Onde é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para :
Como é apenas uma constante multiplicativa, podemos simplificar para:
Onde é uma constante.

Resposta

A função mu(x) = K cdot e^integral partial Fpartial y - partial Gpartial xG(x, y) , dx que resolve a equação diferencial dada é:
Onde é uma constante de integração.

Exercícios relacionados