4,0 Analise as equações diferenciais ordinárias que seguem. Quando a equação for separável, separe as variáveis. Quando a equação não for separável, reescreva-a utilizando uma substituição adequada e então separe-a. Não é necessário resolver. Após separar todas, escolha uma e resolva.
raiz(x + 1) dy + (y + 1) dx = 0

Passo 1

Neste exercício, vamos analisar a equação diferencial ordinária dada: . O conteúdo principal aqui é o estudo de equações diferenciais ordinárias (EDOs), especificamente sobre como identificar se uma EDO é separável e, caso não seja, como realizar uma substituição que permita separá-la. Para resolver, precisaremos utilizar técnicas de separação de variáveis e, se necessário, realizar substituições apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma mais clara:
Para verificar se a equação é separável, tentamos expressá-la na forma que permita separar as variáveis x e y. Observamos que os termos estão misturados, ou seja, a equação não está separável diretamente.

Passo 3

Como a equação não é separável de imediato, precisamos encontrar uma substituição que a torne separável. Observando os termos, uma boa estratégia é tentar uma substituição que simplifique a expressão envolvendo y e x.
Vamos tentar a substituição . Assim, .
Substituindo na equação original:

Passo 4

Agora, a equação está na forma:
Podemos rearranjar para isolar :
Dividindo ambos os lados por :
Agora, as variáveis estão separadas, com todas as v de um lado e todas as x do outro.

Passo 5

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral.
Integrando o lado esquerdo:
Integrando o lado direito:
Podemos combinar as constantes de integração ( ):

Resposta

Substituindo de volta na equação, temos:
Onde C é a constante de integração. Esta é a solução geral da equação diferencial dada.

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