Analise as equações diferenciais ordinárias que seguem. Quando a equação for separável, separe as variáveis. Quando a equação não for separável, reescreva-a utilizando uma substituição adequada e então separe-a. Não é necessário resolver. Após separar todas, escolha uma e resolva.
Passo 1
Neste exercício, vamos analisar a equação diferencial ordinária dada:
. O conteúdo principal aqui é o estudo de equações diferenciais ordinárias (EDOs), especificamente sobre como identificar se uma EDO é separável e, caso não seja, como realizar uma substituição que permita separá-la. Para resolver, precisaremos utilizar técnicas de separação de variáveis e, se necessário, realizar substituições apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma mais clara:
Para verificar se a equação é separável, tentamos expressá-la na forma que permita separar as variáveis
e
. Observamos que os termos estão misturados, ou seja, a equação não está separável diretamente.
Passo 3
Como a equação não é separável de imediato, precisamos encontrar uma substituição que a torne separável. Observando os termos, uma boa estratégia é tentar uma substituição que simplifique a expressão envolvendo
e
.
Vamos tentar a substituição
. Assim,
.
Substituindo na equação original:
Passo 4
Agora, a equação está na forma:
Podemos rearranjar para isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Agora, as variáveis estão separadas, com todas as
de um lado e todas as
do outro.
Passo 5
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral.
Integrando o lado esquerdo:
Integrando o lado direito:
Podemos combinar as constantes de integração (
):
Resposta
Substituindo
de volta na equação, temos:
Onde
é a constante de integração. Esta é a solução geral da equação diferencial dada.