Resolva as equações diferenciais, onde e são funções conhecidas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem que envolvem uma função desconhecida e uma função conhecida . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a equação . O representa a derivada de em relação a . Então, estamos dizendo que a taxa de variação de é igual a multiplicada por .

Passo 3

Para resolver essa equação, a gente pode separar as variáveis, ou seja, colocar todas as partes que envolvem de um lado e as que envolvem do outro. Vamos dividir ambos os lados por :

Passo 4

Agora, observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do logaritmo natural de , ou seja:
Isso facilita porque agora temos uma equação mais simples para integrar.

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a :
Ao integrar o lado esquerdo, simplesmente obtemos .

Passo 6

Após a integração, temos:
Aqui, é a constante de integração que aparece quando integramos.

Passo 7

Para isolar , vamos aplicar a função exponencial em ambos os lados da equação:
Podemos simplificar isso usando propriedades de exponenciais:

Passo 8

Como é apenas uma constante, podemos renomeá-la como (uma constante arbitrária). Assim, a solução geral fica:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Transforme a equação em uma equação exata e, em seguida, resolva-a.
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