Resolva as equações diferenciais, onde
e
são funções conhecidas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem que envolvem uma função desconhecida
e uma função conhecida
. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a equação
. O
representa a derivada de
em relação a
. Então, estamos dizendo que a taxa de variação de
é igual a
multiplicada por
.
Passo 3
Para resolver essa equação, a gente pode separar as variáveis, ou seja, colocar todas as partes que envolvem
de um lado e as que envolvem
do outro. Vamos dividir ambos os lados por
:
Passo 4
Agora, observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do logaritmo natural de
, ou seja:
Isso facilita porque agora temos uma equação mais simples para integrar.
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
:
Ao integrar o lado esquerdo, simplesmente obtemos
.
Passo 6
Após a integração, temos:
Aqui,
é a constante de integração que aparece quando integramos.
Passo 7
Para isolar
, vamos aplicar a função exponencial em ambos os lados da equação:
Podemos simplificar isso usando propriedades de exponenciais:
Passo 8
Como
é apenas uma constante, podemos renomeá-la como
(uma constante arbitrária). Assim, a solução geral fica:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: