2,0 Resolva as equações diferenciais, onde F(x, y) e G(x, y) são funções conhecidas:
mu'(x) = mu(x) F(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem que envolvem uma função desconhecida mu(x) e uma função conhecida F(x). Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a equação . O representa a derivada de mu(x) em relação a x. Então, estamos dizendo que a taxa de variação de mu(x) é igual a mu(x) multiplicada por F(x).

Passo 3

Para resolver essa equação, a gente pode separar as variáveis, ou seja, colocar todas as partes que envolvem mu(x) de um lado e as que envolvem x do outro. Vamos dividir ambos os lados por mu(x):

Passo 4

Agora, observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do logaritmo natural de mu(x), ou seja:
Isso facilita porque agora temos uma equação mais simples para integrar.

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a x:
Ao integrar o lado esquerdo, simplesmente obtemos .

Passo 6

Após a integração, temos:
Aqui, C é a constante de integração que aparece quando integramos.

Passo 7

Para isolar mu(x), vamos aplicar a função exponencial em ambos os lados da equação:
Podemos simplificar isso usando propriedades de exponenciais:

Passo 8

Como é apenas uma constante, podemos renomeá-la como (uma constante arbitrária). Assim, a solução geral fica:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados