Resolva as equações diferenciais de ordem superior:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é
. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral dessa equação e depois aplicar as condições iniciais que nos deram para encontrar os valores das constantes envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial
. Para isso, vamos montar a equação característica. Substituímos
por
e
por 1, ficando:
Passo 3
Agora, resolvemos a equação característica
:
Os valores de
são números imaginários puros,
.
Passo 4
Quando temos raízes complexas da forma
, a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso,
e
, então a solução geral fica:
Passo 5
Agora, precisamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
.
Temos:
Primeiro, vamos calcular a derivada de
:
Passo 6
Vamos substituir
na solução geral e na derivada para formar o sistema de equações.
Para
:
Passo 7
Agora, substituímos
na derivada e aplicamos a segunda condição
:
Passo 8
Com os valores das constantes
e
, nossa solução particular fica:
Resposta
A solução da equação diferencial é: