Resolva as equações diferenciais de ordem superior:
y^prime prime+4 y=0, y(pi2)=3 e y^prime(pi2)=-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é . Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral dessa equação e depois aplicar as condições iniciais que nos deram para encontrar os valores das constantes envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial r^2 + 4 = 0 . Para isso, vamos montar a equação característica. Substituímos por e por 1, ficando:

Passo 3

Agora, resolvemos a equação característica r^2 = -4 r = pm 2i :
Os valores de são números imaginários puros, .

Passo 4

Quando temos raízes complexas da forma y(x) = e^alpha x (C1 cos(beta x) + C2 sin(beta x)) , a solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 cos(2x) + C2 sin(2x)
No nosso caso, e , então a solução geral fica:

Passo 5

Agora, precisamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes y(pi2) = 3 y'(pi2) = -3 e y'(x) = -2C1 sin(2x) + 2C2 cos(2x) .
Temos:
Primeiro, vamos calcular a derivada de :

Passo 6

Vamos substituir 3 = C1 cos(2 cdot pi2) + C2 sin(2 cdot pi2) 3 = C1 cos(pi) + C2 sin(pi) 3 = C1 (-1) + C2 (0) - C1 = 3 C1 = -3 na solução geral e na derivada para formar o sistema de equações.
Para :

Passo 7

Agora, substituímos -3 = -2(-3) sin(2 cdot pi2) + 2C2 cos(2 cdot pi2) -3 = 6 sin(pi) + 2C2 cos(pi) -3 = 6 cdot 0 + 2C2 (-1) -3 = -2C2 C2 = 32 na derivada e aplicamos a segunda condição :

Passo 8

Com os valores das constantes y(x) = -3 cos(2x) + 32 sin(2x) e , nossa solução particular fica:

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = -3 cos(2x) + 32 sin(2x)

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