Verifique o tipo das equações diferenciais ordinárias apresentadas na coluna 1, relacionando-as com sua classificação na coluna 2 e justificando cada resposta com argumentos matemáticos. Não é necessário determinar a solução da EDO.
Equação Diferencial Ordinária
( a ) x d yd x=3-2 y
(b ) (y^2+y x) d x-x^2 d y=0
( c ) d yd x=(1-2 x) y^2
(d ) x d yd x+y=1y^2
( e ) (5 x+4 y) d x+(4 x-8 y^3) d y=0

Classificação

( ) Separável
( ) Homogênea
( ) Exata
( ) Linear
( ) Bernoulli

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos cinco equações diferenciais ordinárias (EDOs) e precisamos classificá-las em uma das seguintes categorias: Separável, Homogênea, Exata, Linear ou Bernoulli. Para isso, vamos revisar brevemente o que cada tipo significa e depois analisar cada equação uma por uma para determinar a classificação correta.

Passo 2

Equação (a): dydx + 2xy = 3x
Primeiro, vamos reorganizar a equação para a forma padrão de uma EDO linear: .
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, e , o que confirma que a equação é linear.

Passo 3

Equação (b): partial Mpartial y = 2y + x
Vamos verificar se a equação é exata. Uma equação da forma partial Npartial x = -2x é exata se .
Aqui, e .
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Vamos verificar se é homogênea.
Para ser homogênea, todos os termos devem ter o mesmo grau. Observando os termos, vemos que é de grau 2, de grau 2 e de grau 2. Portanto, a equação é homogênea.

Passo 4

Equação ©: dydx - (1 - 2x)y^2 = 0
Essa equação pode ser classificada como uma equação de Bernoulli, que tem a forma .
Rearranjando:
Aqui, , e . Isso confirma que a equação é uma equação de Bernoulli.

Passo 5

Equação (d): dydx + 1xy = 1x y^2
Vamos tentar rearranjar a equação para identificar seu tipo. Dividindo ambos os lados por dydx + 1xy = 1x y^2 :
Essa forma se assemelha a uma EDO linear, mas o termo não é linear em . Vamos verificar se é uma equação de Bernoulli.
Rearranjando:
Aqui, , e . Isso indica que a equação é de Bernoulli.

Passo 6

Equação (e): M = 5x + 4y
Vamos verificar se a equação é exata. Calculando as derivadas parciais:
N = 4x - 8y^3
partial Mpartial y = 4
partial Npartial x = 4
Como , a equação é exata.

Resposta

  • (a) Linear
  • (b) Homogênea
  • © Bernoulli
  • (d) Bernoulli
  • (e) Exata

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