Verifique o tipo das equações diferenciais ordinárias apresentadas na coluna 1, relacionando-as com sua classificação na coluna 2 e justificando cada resposta com argumentos matemáticos. Não é necessário determinar a solução da EDO.
Equação Diferencial Ordinária
( a )
(b )
( c )
(d )
( e )
Classificação
( ) Separável
( ) Homogênea
( ) Exata
( ) Linear
( ) Bernoulli
Equação Diferencial Ordinária
( a )
(b )
( c )
(d )
( e )
( ) Homogênea
( ) Exata
( ) Linear
( ) Bernoulli
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos cinco equações diferenciais ordinárias (EDOs) e precisamos classificá-las em uma das seguintes categorias: Separável, Homogênea, Exata, Linear ou Bernoulli. Para isso, vamos revisar brevemente o que cada tipo significa e depois analisar cada equação uma por uma para determinar a classificação correta.
Passo 2
Equação (a):
Primeiro, vamos reorganizar a equação para a forma padrão de uma EDO linear:
.
Dividindo ambos os lados por
:
Aqui,
e
, o que confirma que a equação é linear.
Passo 3
Equação (b):
Vamos verificar se a equação é exata. Uma equação da forma
é exata se
.
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Vamos verificar se é homogênea.
Para ser homogênea, todos os termos devem ter o mesmo grau. Observando os termos, vemos que
é de grau 2,
de grau 2 e
de grau 2. Portanto, a equação é homogênea.
Passo 4
Equação ©:
Essa equação pode ser classificada como uma equação de Bernoulli, que tem a forma
.
Rearranjando:
Aqui,
,
e
. Isso confirma que a equação é uma equação de Bernoulli.
Passo 5
Equação (d):
Vamos tentar rearranjar a equação para identificar seu tipo. Dividindo ambos os lados por
:
Essa forma se assemelha a uma EDO linear, mas o termo
não é linear em
. Vamos verificar se é uma equação de Bernoulli.
Rearranjando:
Aqui,
,
e
. Isso indica que a equação é de Bernoulli.
Passo 6
Equação (e):
Vamos verificar se a equação é exata. Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Resposta
- (a) Linear
- (b) Homogênea
- © Bernoulli
- (d) Bernoulli
- (e) Exata