Resolva as seguintes equações diferenciais. Verifique se as soluções encontradas estão corretas.
A lei de resfriamento de Newton afirma que a taxa de variação de temperatura é proporcional à diferença entre a temperatura T do corpo e a temperatura TM do meio ambiente, ou seja,
. Utilizando a lei de resfriamento de Newton como modelo resolva a seguinte questão. Coloca-se uma barra de metal, à temperatura de
em um quarto com temperatura constante de
. Se, após 20 min , a temperatura da barra é de
.
a) Determinar o tempo necessário para que a temperatura da barra seja de
.
b) Verifique se a solução da EDO do item a está correta.
A lei de resfriamento de Newton afirma que a taxa de variação de temperatura é proporcional à diferença entre a temperatura T do corpo e a temperatura TM do meio ambiente, ou seja,
a) Determinar o tempo necessário para que a temperatura da barra seja de
b) Verifique se a solução da EDO do item a está correta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a Lei de Resfriamento de Newton. A lei diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente. Matematicamente, isso é expresso por:
Onde:
-
é a temperatura do objeto no tempo , -
é a temperatura do meio ambiente, -
é a constante de proporcionalidade.
No nosso caso, a temperatura inicial da barra de metal é
, a temperatura ambiente é
, e após 20 minutos a temperatura da barra cai para
. Vamos usar essas informações para encontrar o tempo necessário para que a temperatura atinja
.
Passo 2
Primeiro, precisamos resolver a equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem e pode ser resolvida usando o método de separação de variáveis. Vamos reorganizar a equação:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo resulta em
, e do lado direito é
, onde
é a constante de integração:
Passo 4
Vamos resolver para
. Primeiro, exponenciamos ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos simplificar
como uma nova constante
:
Então, isolando
:
Passo 5
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Sabemos que:
- Quando
, :
Então, a equação fica:
Também sabemos que:
- Quando
minutos, :
Vamos resolver para
:
Calculando:
Passo 6
Agora que temos
, podemos encontrar o tempo necessário para que a temperatura seja
.
Usamos a equação:
Resolvendo para
:
Resposta
a) O tempo necessário para que a temperatura da barra seja de
é aproximadamente 31,07 minutos.
b) Para verificar, substituímos
na solução encontrada:
A verificação confirma que a solução está correta.