Resolva as seguintes equações diferenciais. Verifique se as soluções encontradas estão corretas.
A lei de resfriamento de Newton afirma que a taxa de variação de temperatura é proporcional à diferença entre a temperatura T do corpo e a temperatura TM do meio ambiente, ou seja, d Td t=k(T-Tm). Utilizando a lei de resfriamento de Newton como modelo resolva a seguinte questão. Coloca-se uma barra de metal, à temperatura de 35^circ C em um quarto com temperatura constante de 0^circ C. Se, após 20 min , a temperatura da barra é de 10^circ C.
a) Determinar o tempo necessário para que a temperatura da barra seja de 5^circ C.
b) Verifique se a solução da EDO do item a está correta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a Lei de Resfriamento de Newton. A lei diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente. Matematicamente, isso é expresso por:
d Td t = k(T - Tm)
Onde:
  • é a temperatura do objeto no tempo ,
  • é a temperatura do meio ambiente,
  • é a constante de proporcionalidade.
No nosso caso, a temperatura inicial da barra de metal é , a temperatura ambiente é , e após 20 minutos a temperatura da barra cai para . Vamos usar essas informações para encontrar o tempo necessário para que a temperatura atinja .

Passo 2

Primeiro, precisamos resolver a equação diferencial:
d Td t = k(T - Tm)
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem e pode ser resolvida usando o método de separação de variáveis. Vamos reorganizar a equação:
d TT - Tm = k , dt

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
integral 1T - Tm , dT = integral k , dt
A integral do lado esquerdo resulta em ln|T - Tm| = kt + C , e do lado direito é , onde é a constante de integração:

Passo 4

Vamos resolver para |T - Tm| = e^kt + C = e^C cdot e^kt . Primeiro, exponenciamos ambos os lados para eliminar o logaritmo:
T - Tm = C' e^kt
Podemos simplificar T(t) = Tm + C' e^kt como uma nova constante :
Então, isolando :

Passo 5

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar 35 = 0 + C' e^k cdot 0 Rightarrow C' = 35 e T(t) = 35 e^kt .
Sabemos que:
  • Quando 10 = 35 e^20k , 1035 = e^20k Rightarrow ln(1035) = 20k Rightarrow k = ln(1035)20 :
k = ln(27)20 approx -1.2527620 approx -0.0626 , min^-1
Então, a equação fica:
Também sabemos que:
  • Quando minutos, :
Vamos resolver para :
Calculando:

Passo 6

Agora que temos 5 = 35 e^-0.0626 t , podemos encontrar o tempo necessário para que a temperatura seja 535 = e^-0.0626 t Rightarrow ln(17) = -0.0626 t .
Usamos a equação:
t = ln(17)-0.0626 approx -1.94591-0.0626 approx 31.07 , minutos
Resolvendo para :

Resposta

a) O tempo necessário para que a temperatura da barra seja de T(31,07) = 35 e^-0.0626 times 31,07 approx 35 e^-1.945 approx 35 times 0.143 approx 5^circC é aproximadamente 31,07 minutos.
b) Para verificar, substituímos na solução encontrada:
A verificação confirma que a solução está correta.

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