Resolva as equações diferenciais a seguir. y''' + y'' + 15 y' - 17 y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais lineares de ordem superior com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos entender como encontrar a solução geral usando a equação característica.

Passo 2

Primeiro, a gente transforma a equação diferencial em uma equação algébrica chamada equação característica. Para isso, substituímos cada derivada de por uma potência de . Ou seja:
Então, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa equação cúbica para encontrar os valores de que vão nos dar a solução da equação diferencial. Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação.

Passo 4

Vamos testar possíveis raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere que as raízes possíveis são fatores de 17 divididos por fatores de 1. Então, as possíveis raízes são .
Vamos testar :
Legal, é uma raiz!

Passo 5

Como é uma raiz, podemos fatorar da equação característica. Vamos fazer a divisão polinomial de por :
Então, a equação característica fica:

Passo 6

Agora, resolvemos . Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Então:
Então, as raízes são e .

Passo 7

Agora que temos todas as raízes da equação característica, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Quando temos raízes reais simples como e raízes complexas , a solução geral é:
Aqui, , , e . Substituindo esses valores:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Considere-se um circuito elétrico constituído por uma força eletromotriz que produz uma queda de tensão E(t), uma resistência R, uma bobine com indutância L e um condensador com capacitância C, ligados em série (circuito RLC). Nessas condições a carga instantânea no condensador q(t) é tal que
L d^2q/dt^2 + R dq/dt + 1/C q = E(t)
sendo a intensidade de correte i, cada instante de t, dada por i(t) = d q / d t.
Supondo que E(t) = 0 (Volt), R = 2 (Ohm), L=0,05 (Henry) e C = 1/100 (Farad), e sabendo que no instante inicial a intensidade de corrente é nula e a carga do condensador é igual a 5 (Coulomb) :
determinar a carga do condensador em cada instante t;
Resolva as equações diferenciais a seguir. x^2 d^2y/dx^2 - x dy/dx + y = 4x ln x, x > 0
Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade.
(e) partial^2 upartial y^2+partial^2 upartial x^2=0
Para cada função f definida abaixo faça todos os itens a seguir:
  • Encontre a função f'(x) e os intervalos de crescimento e decrescimento de f.
  • Encontre a função f''(x) e estude a concavidade de f.
    (a) f(x) = x^3 + x^2 - 5 x.
    (b) f(x) = x^2 / (x^2 - 9).
    © f(x)=(x^2-4)/(16-x^2).
    (d) f(x) = 2x^3 / (x^3 - 8).
    (e) f(x) = e^(1/x) - 3.
    (f) f(x) = e^(-x^2).
    (g) f(x) = x^2 * e^x.
    (h) f(x) = x * raiz(8 - x^2).
    Roteiro para o esboço do gráfico de uma função f :
  • Determine o domínio de f
  • Encontre as intersecções do gráfico de f com os eixos coordenados
  • Verifique se a função possui simetria (função par, função ímpar, função periódica)
  • Verifique se o gráfico de f possui assíntotas (horizontais ou verticais)
  • Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento
  • Encontre os pontos de máximo e mínimo locais interiores
  • Analise a concavidade e encontre os pontos de inflexão
  • Usando todas as informações obtidas nos itens anteriores, esboce o gráfico de f