Resolva as equações diferenciais a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais lineares de ordem superior com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos entender como encontrar a solução geral usando a equação característica.
Passo 2
Primeiro, a gente transforma a equação diferencial em uma equação algébrica chamada equação característica. Para isso, substituímos cada derivada de
por uma potência de
. Ou seja:
Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, precisamos resolver essa equação cúbica
para encontrar os valores de
que vão nos dar a solução da equação diferencial. Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação.
Passo 4
Vamos testar possíveis raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere que as raízes possíveis são fatores de 17 divididos por fatores de 1. Então, as possíveis raízes são
.
Vamos testar
:
Legal,
é uma raiz!
Passo 5
Como
é uma raiz, podemos fatorar
da equação característica. Vamos fazer a divisão polinomial de
por
:
Então, a equação característica fica:
Passo 6
Agora, resolvemos
. Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
. Então:
Então, as raízes são
e
.
Passo 7
Agora que temos todas as raízes da equação característica, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Quando temos raízes reais simples como
e raízes complexas
, a solução geral é:
Aqui,
,
, e
. Substituindo esses valores:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: