Resolva as equações diferenciais a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais lineares de ordem superior com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos entender como encontrar a solução geral usando a equação característica.
Passo 2
Primeiro, a gente transforma a equação diferencial em uma equação algébrica chamada equação característica. Para isso, substituímos cada derivada de
por uma potência de
. Ou seja:
Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, precisamos resolver essa equação cúbica
para encontrar os valores de
que vão nos dar a solução da equação diferencial. Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação.
Passo 4
Vamos testar possíveis raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere que as raízes possíveis são fatores de 17 divididos por fatores de 1. Então, as possíveis raízes são
.
Vamos testar
:
Legal,
é uma raiz!
Passo 5
Como
é uma raiz, podemos fatorar
da equação característica. Vamos fazer a divisão polinomial de
por
:
Então, a equação característica fica:
Passo 6
Agora, resolvemos
. Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
. Então:
Então, as raízes são
e
.
Passo 7
Agora que temos todas as raízes da equação característica, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Quando temos raízes reais simples como
e raízes complexas
, a solução geral é:
Aqui,
,
, e
. Substituindo esses valores:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Considere-se um circuito elétrico constituído por uma força eletromotriz que produz uma queda de tensão
, uma resistência
, uma bobine com indutância
e um condensador com capacitância
, ligados em série (circuito RLC). Nessas condições a carga instantânea no condensador
é tal que
sendo a intensidade de correte
, cada instante de
, dada por
.
Supondo que (Volt),
(Ohm),
(Henry) e
(Farad), e sabendo que no instante inicial a intensidade de corrente é nula e a carga do condensador é igual a 5 (Coulomb) :
determinar a carga do condensador em cada instante ;
Supondo que
determinar a carga do condensador em cada instante
Resolva as equações diferenciais a seguir.
Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade.
Para cada função
definida abaixo faça todos os itens a seguir:
- Encontre a função
e os intervalos de crescimento e decrescimento . - Encontre a função
e estude a concavidade de .
(a).
(b).
©.
(d).
(e).
(f).
(g).
(h).
Roteiro para o esboço do gráfico de uma função: - Determine o domínio de
- Encontre as intersecções do gráfico de
com os eixos coordenados - Verifique se a função possui simetria (função par, função ímpar, função periódica)
- Verifique se o gráfico de
possui assíntotas (horizontais ou verticais) - Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento
- Encontre os pontos de máximo e mínimo locais interiores
- Analise a concavidade e encontre os pontos de inflexão
- Usando todas as informações obtidas nos itens anteriores, esboce o gráfico de