Resolva as equações diferenciais a seguir. y''' + y'' + 15 y' - 17 y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais lineares de ordem superior com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos entender como encontrar a solução geral usando a equação característica.

Passo 2

Primeiro, a gente transforma a equação diferencial em uma equação algébrica chamada equação característica. Para isso, substituímos cada derivada de por uma potência de . Ou seja:
Então, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa equação cúbica para encontrar os valores de que vão nos dar a solução da equação diferencial. Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação.

Passo 4

Vamos testar possíveis raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere que as raízes possíveis são fatores de 17 divididos por fatores de 1. Então, as possíveis raízes são .
Vamos testar :
Legal, é uma raiz!

Passo 5

Como é uma raiz, podemos fatorar da equação característica. Vamos fazer a divisão polinomial de por :
Então, a equação característica fica:

Passo 6

Agora, resolvemos . Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Então:
Então, as raízes são e .

Passo 7

Agora que temos todas as raízes da equação característica, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Quando temos raízes reais simples como e raízes complexas , a solução geral é:
Aqui, , , e . Substituindo esses valores:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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