Resolva os problemas de valor inicial:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A equação que a gente tem é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial não linear do primeiro grau, conhecida como equação de Riccati. Para resolver, vamos precisar entender como transformar essa equação em uma forma que a gente consiga resolver, usando substituições e técnicas de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para ficar mais clara:
Vamos dividir todos os termos por
para simplificar:
Agora a equação está na forma:
onde
e
.
Passo 3
Essa é uma equação de Riccati, que é uma equação diferencial não linear. Uma das formas de resolver é fazendo uma substituição que transforma a equação em uma equação diferencial linear. Vamos usar:
Agora, vamos calcular
:
Passo 4
Substituindo
na equação original:
Então,
Como
, temos
. Substituindo:
Agora, a equação é linear em
:
Passo 5
Vamos resolver essa equação linear usando o fator integrante. Primeiro, identificamos
e
.
O fator integrante
é dado por:
Multiplicando toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Fazendo a substituição
, temos
, mas essa integral pode ser resolvida reconhecendo a forma da derivada.
Após resolver a integral, encontramos:
Passo 6
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Simplificando:
Então,
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução da equação diferencial dada com a condição inicial é:
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