Resolva os problemas de valor inicial:
x dy/dx - (1+x) y = x y^2, x > 0, y(1) = e.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A equação que a gente tem é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial não linear do primeiro grau, conhecida como equação de Riccati. Para resolver, vamos precisar entender como transformar essa equação em uma forma que a gente consiga resolver, usando substituições e técnicas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para ficar mais clara:
Vamos dividir todos os termos por para simplificar:
Agora a equação está na forma:
onde e .

Passo 3

Essa é uma equação de Riccati, que é uma equação diferencial não linear. Uma das formas de resolver é fazendo uma substituição que transforma a equação em uma equação diferencial linear. Vamos usar:
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Substituindo na equação original:
Então,
Como , temos . Substituindo:
Agora, a equação é linear em :

Passo 5

Vamos resolver essa equação linear usando o fator integrante. Primeiro, identificamos e .
O fator integrante é dado por:
Multiplicando toda a equação por :
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Fazendo a substituição , temos , mas essa integral pode ser resolvida reconhecendo a forma da derivada.
Após resolver a integral, encontramos:

Passo 6

Lembrando que , substituímos de volta:
Resolvendo para :

Passo 7

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante :
Simplificando:
Então,
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução da equação diferencial dada com a condição inicial é:

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