Resolva os problemas de valor inicial:
x dy/dx + 2y = sen(x)/x, y(2) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial! A gente tem uma equação diferencial do tipo linear e uma condição inicial pra achar a solução específica. Vamos precisar usar o método do fator integrante pra resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares: . A equação dada é . Vamos dividir tudo por pra facilitar:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante . Ele é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante :
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, resolvemos para :

Passo 7

Usamos a condi��ão inicial pra encontrar o valor de :

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial é:

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Resolva os problemas de valor inicial:
d y/d x + y = (1 - e^(-2 x))/(e^(x) + e^(-x)), y(0) = ln 4.
Resolva as equações diferenciais.
x dy + y dx = 2 raiz(xy) ln(x) dx, com x > 0.
Resolva os problemas de valor inicial:
(1 + e^x) * y * y' = e^x, com y(0) = raiz(ln 2)
Resolva os problemas de valor inicial:
x dy/dx - (1+x) y = x y^2, x > 0, y(1) = e.