Resolva o problema de valor inicial
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial de segunda ordem:
Além disso, temos as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares e aplicar técnicas para resolver equações homogêneas com coeficientes variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por
para facilitar:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes que dependem de
.
Passo 3
Vamos tentar uma solução do tipo
. Para isso, calculamos as derivadas:
Passo 4
Substituindo
,
e
na equação simplificada:
Simplificando os termos:
Fatorando
:
Passo 5
Como
, podemos igualar o coeficiente a zero:
Resolvendo a equação quadrática:
Obtemos uma raiz dupla
.
Passo 6
Quando a equação característica tem raízes reais e iguais, a solução geral é:
Substituindo
:
Passo 7
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
. Primeiro,
:
Passo 8
Agora, vamos calcular
:
Aplicando
:
Resposta
A solução do problema é:
Exercícios relacionados
Supondo que
e
satisfaçam as condições do Teorema do Divergente e que
mostre que
Resolva as equações de Euler para
:
Resolva as equações usando o método de variação dos parâmetros: