Supondo que
e
satisfaçam as condições do Teorema do Divergente e que
mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que o volume
de uma região
pode ser calculado usando uma integral de superfície envolvendo o campo vetorial
. O conteúdo principal aqui é o Teorema da Divergência, que relaciona integrais de volume com integrais de superfície. Para resolver, vamos precisar entender e aplicar esse teorema passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que para um campo vetorial
e uma região
com fronteira suave
:
Aqui,
é a divergência de
, e
é um elemento de área orientado da superfície
.
Passo 3
Vamos calcular a divergência do campo
. A divergência é dada por:
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 4
Agora, aplicando o Teorema da Divergência:
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por 3:
Passo 5
A integral tripla
representa o volume de
, ou seja,
. Portanto, temos:
Resposta
Concluímos que o volume
da região
é igual a um terço da integral de superfície do campo
sobre
, ou seja:
Exercícios relacionados
Resolva as equações de Euler para
:
Use o Teorema de Stokes para calcular
.
é formada pelo topo e pelos quatro lados (mas não pelo fundo) do cubo com vértices
, com orientação para fora.
Resolva o problema de valor inicial
para
.