Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos trabalhando com Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar achar a solução geral, que inclui a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, assumimos soluções da forma , onde é uma constante que vamos determinar.
Passo 3
Substituindo na equação homogênea, temos:
Dividindo por (que nunca é zero), fica:
Aqui, é a unidade imaginária.
Passo 4
Com raízes complexas , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que determinamos com as condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos achar uma solução particular da equação completa . Como o lado direito é um polinômio, vamos supor uma solução particular da forma:
onde são constantes a serem encontradas.
Passo 6
Calculando as derivadas de :
Substituindo e suas derivadas na equação original:
Passo 7
Agrupando termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de :
Resolvendo o sistema:
Passo 8
Então, a solução particular é:
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular: