Use o método de Picard para obter as soluções das seguintes equações diferenciais. Encontre pelo menos a quarta aproximação para cada solução.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação diferencial
e precisamos usar o método de Picard para encontrar pelo menos a quarta aproximação da solução. O método de Picard é uma técnica iterativa que nos ajuda a aproximar soluções de equações diferenciais, especialmente quando não conseguimos resolver a equação de forma exata. Para isso, vamos reescrever a equação na forma
e então realizar as iterações necessárias.
Passo 2
Vamos rearranjar a equação dada para isolar
:
Então, temos que
.
Passo 3
No método de Picard, começamos com uma aproximação inicial para
. Geralmente, usamos a condição inicial
. Como o exercício não especifica uma condição inicial, vamos assumir que
, onde
é uma constante conhecida.
Nossa primeira aproximação será a função constante:
Passo 4
Agora, encontramos a primeira iteração (
) usando a fórmula de Picard:
Substituindo
:
Calculando a integral:
Então:
Passo 5
Para a segunda iteração (
), usamos:
Substituindo
:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Integrando termo a termo:
Simplificando:
Passo 6
Repetimos o processo para a terceira iteração (
):
Substituindo
e expandindo os termos, calculamos a integral de cada termo da expressão de
multiplicado por
. Após realizar as integrações e simplificações necessárias, obtemos:
Passo 7
Finalmente, calculamos a quarta iteração (
):
Substituindo
e realizando as integrações necessárias em cada termo, obtemos uma expressão ainda mais precisa:
Resposta
A quarta aproximação da solução usando o método de Picard é: