Use o método de Picard para obter as soluções das seguintes equações diferenciais. Encontre pelo menos a quarta aproximação para cada solução.
2 y' + x y - y = 0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação diferencial e precisamos usar o método de Picard para encontrar pelo menos a quarta aproximação da solução. O método de Picard é uma técnica iterativa que nos ajuda a aproximar soluções de equações diferenciais, especialmente quando não conseguimos resolver a equação de forma exata. Para isso, vamos reescrever a equação na forma e então realizar as iterações necessárias.

Passo 2

Vamos rearranjar a equação dada para isolar :
Então, temos que .

Passo 3

No método de Picard, começamos com uma aproximação inicial para . Geralmente, usamos a condição inicial . Como o exercício não especifica uma condição inicial, vamos assumir que , onde é uma constante conhecida.
Nossa primeira aproximação será a função constante:

Passo 4

Agora, encontramos a primeira iteração ( ) usando a fórmula de Picard:
Substituindo :
Calculando a integral:
Então:

Passo 5

Para a segunda iteração ( ), usamos:
Substituindo :
Simplificando a expressão dentro da integral:
Integrando termo a termo:
Simplificando:

Passo 6

Repetimos o processo para a terceira iteração ( ):
Substituindo e expandindo os termos, calculamos a integral de cada termo da expressão de multiplicado por . Após realizar as integrações e simplificações necessárias, obtemos:

Passo 7

Finalmente, calculamos a quarta iteração ( ):
Substituindo e realizando as integrações necessárias em cada termo, obtemos uma expressão ainda mais precisa:

Resposta

A quarta aproximação da solução usando o método de Picard é:

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