Use o método de Picard para obter as soluções das seguintes equações diferenciais. Encontre pelo menos a quarta aproximação para cada solução.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação diferencial e precisamos usar o método de Picard para encontrar pelo menos a quarta aproximação da solução. O método de Picard é uma técnica iterativa que nos ajuda a aproximar soluções de equações diferenciais, especialmente quando não conseguimos resolver a equação de forma exata. Para isso, vamos reescrever a equação na forma e então realizar as iterações necessárias.
Passo 2
Vamos rearranjar a equação dada para isolar :
Então, temos que .
Passo 3
No método de Picard, começamos com uma aproximação inicial para . Geralmente, usamos a condição inicial . Como o exercício não especifica uma condição inicial, vamos assumir que , onde é uma constante conhecida.
Nossa primeira aproximação será a função constante:
Passo 4
Agora, encontramos a primeira iteração ( ) usando a fórmula de Picard:
Substituindo :
Calculando a integral:
Então:
Passo 5
Para a segunda iteração ( ), usamos:
Substituindo :
Simplificando a expressão dentro da integral:
Integrando termo a termo:
Simplificando:
Passo 6
Repetimos o processo para a terceira iteração ( ):
Substituindo e expandindo os termos, calculamos a integral de cada termo da expressão de multiplicado por . Após realizar as integrações e simplificações necessárias, obtemos:
Passo 7
Finalmente, calculamos a quarta iteração ( ):
Substituindo e realizando as integrações necessárias em cada termo, obtemos uma expressão ainda mais precisa:
Resposta
A quarta aproximação da solução usando o método de Picard é:
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Derive
(d) .
Obtenha uma solução em série de potências para e discuta sua convergência.
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(d)
Resolva as equações fazendo as mudanças de variáveis sugeridas: .