Resolva as equações homogêneas abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial homogênea que é:
Aqui estamos lidando com equações diferenciais homogêneas, que envolvem funções de e de tal forma que podemos simplificar usando uma substituição. Para resolver, vamos precisar usar a substituição e depois integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição . Isso significa que . Agora, derivamos ambos os lados em relação a :
Isso nos ajuda a expressar em termos de e , o que simplifica a equação original.

Passo 3

Agora, substituímos e na equação original:
Vamos simplificar os termos:

Passo 4

Simplificando ainda mais:
Vamos dividir toda a equação por para simplificar:

Passo 5

Agora, expandindo a equação:
Notamos que isso está ficando complicado, então vamos tentar uma abordagem diferente multiplicando a equação original por um fator que facilite a integração.

Passo 6

Multiplicando a equação original por :
Usando :
Substituindo :

Passo 7

Simplificando:
Agrupando termos:

Passo 8

Rearranjando a equação para isolar :
Dividindo ambos os lados:

Passo 9

Agora, integramos ambos os lados:
A integral à esquerda é simples:

Passo 10

Para resolver a integral à direita, podemos fatorar o denominador:
Tentando fatorar, percebemos que é uma raiz:
Então:
Simplificando o numerador:
Agora, dividimos:
Integrando termo a termo:
E
Então, a integral total é:

Resposta

Finalmente, substituindo tudo de volta:
Como :
Esta é a solução geral da equação diferencial dada.

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