Resolva as equações homogêneas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial homogênea que é:
Aqui estamos lidando com equações diferenciais homogêneas, que envolvem funções de
e
de tal forma que podemos simplificar usando uma substituição. Para resolver, vamos precisar usar a substituição
e depois integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição
. Isso significa que
. Agora, derivamos ambos os lados em relação a
:
Isso nos ajuda a expressar
em termos de
e
, o que simplifica a equação original.
Passo 3
Agora, substituímos
e
na equação original:
Vamos simplificar os termos:
Passo 4
Simplificando ainda mais:
Vamos dividir toda a equação por
para simplificar:
Passo 5
Agora, expandindo a equação:
Notamos que isso está ficando complicado, então vamos tentar uma abordagem diferente multiplicando a equação original por um fator que facilite a integração.
Passo 6
Multiplicando a equação original por
:
Usando
:
Substituindo
:
Passo 7
Simplificando:
Agrupando termos:
Passo 8
Rearranjando a equação para isolar
:
Dividindo ambos os lados:
Passo 9
Agora, integramos ambos os lados:
A integral à esquerda é simples:
Passo 10
Para resolver a integral à direita, podemos fatorar o denominador:
Tentando fatorar, percebemos que
é uma raiz:
Então:
Simplificando o numerador:
Agora, dividimos:
Integrando termo a termo:
E
Então, a integral total é:
Resposta
Finalmente, substituindo tudo de volta:
Como
:
Esta é a solução geral da equação diferencial dada.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes Equações Diferenciais Exatas.
Resolver as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis.
Resolva as equações homogêneas abaixo:
Resolva as equações homogêneas abaixo: