Resolva as seguintes Equações Diferenciais Exatas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata que você enviou:
. A matéria que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais Exatas. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função
tal que
, o que nos dará a solução da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam
e
na equação. Temos:
Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como
(1 ≠ 2), a equação não é exata.
Passo 4
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torna a equação exata. Um método comum é buscar um fator que depende apenas de
ou de
. Vamos tentar um fator integrante
que depende apenas de
.
A condição para
tornar a equação exata é:
Após alguns cálculos, encontramos que:
onde
é uma função que ajusta a exatidão da equação.
Passo 5
Após encontrar o fator integrante apropriado, multiplicamos toda a equação original por
para torná-la exata. Em seguida, integramos
em relação a
para encontrar a função
. A solução geral da equação diferencial será
, onde
é uma constante.
Resposta
A solução geral da equação diferencial exata é dada por:
Simplificando, temos:
onde
é uma constante arbitrária.
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