Resolva as seguintes Equações Diferenciais Exatas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata que você enviou: . A matéria que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais Exatas. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função tal que , o que nos dará a solução da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam e na equação. Temos:
Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Como (1 ≠ 2), a equação não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torna a equação exata. Um método comum é buscar um fator que depende apenas de ou de . Vamos tentar um fator integrante que depende apenas de .
A condição para tornar a equação exata é:
Após alguns cálculos, encontramos que:
onde é uma função que ajusta a exatidão da equação.

Passo 5

Após encontrar o fator integrante apropriado, multiplicamos toda a equação original por para torná-la exata. Em seguida, integramos em relação a para encontrar a função . A solução geral da equação diferencial será , onde é uma constante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial exata é dada por:
Simplificando, temos:
onde é uma constante arbitrária.

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