Resolver as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis.
Passo 1
Enunciado resumido: Vamos resolver a equação diferencial de variáveis separáveis:
Conteúdo da matéria: Equações diferenciais de variáveis separáveis.
O que vamos precisar para resolver: Precisamos separar as variáveis
e
de modo que uma parte da equação fique apenas em termos de
e
, e a outra parte apenas em termos de
e
. Isso nos permitirá integrar ambos os lados e encontrar a solução da equação.
Passo 2
Rearranjando a equação para separar as variáveis: Vamos começar movendo todos os termos que envolvem
para um lado e os que envolvem
para o outro lado. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por
e por
:
Simplificando, temos:
Explicação da teoria aplicada: Em equações diferenciais de variáveis separáveis, nosso objetivo é reescrever a equação de forma que todas as expressões envolvendo
fiquem de um lado e as que envolvem
fiquem do outro. Isso facilita a integração de cada lado separadamente.
Passo 3
Integrando ambos os lados: Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar cada lado da equação. Vamos integrar o lado esquerdo em relação a
e o lado direito em relação a
:
Explicação da teoria aplicada: A integração em ambos os lados nos permitirá encontrar uma relação entre
e
que satisfaz a equação diferencial original. É importante lembrar que, após a integração, devemos considerar uma constante de integração.
Passo 4
Simplificando a integração: Observamos que a expressão
pode ser simplificada. Note que:
Portanto, podemos reescrever a integral do lado esquerdo como:
Explicação da teoria aplicada: Identificamos uma derivada que facilita a integração. Isso simplifica o processo e torna a resolução mais direta.
Passo 5
Realizando a integração: Agora, integramos ambos os lados:
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Onde
é a constante de integração.
Explicação da teoria aplicada: Ao integrar ambos os lados, obtemos expressões que relacionam
e
. É fundamental lembrar de incluir a constante de integração
após a integração.
Passo 6
Montando a solução geral: Igualando as duas integrais, temos:
Podemos reorganizar essa expressão para isolar
:
Explicação da teoria aplicada: A solução geral de uma equação diferencial envolve uma constante de integração
. Essa constante representa a família de todas as possíveis soluções da equação diferencial original.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante real.
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