Resolver as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis.

Passo 1

Enunciado resumido: Vamos resolver a equação diferencial de variáveis separáveis:
Conteúdo da matéria: Equações diferenciais de variáveis separáveis.
O que vamos precisar para resolver: Precisamos separar as variáveis e de modo que uma parte da equação fique apenas em termos de e , e a outra parte apenas em termos de e . Isso nos permitirá integrar ambos os lados e encontrar a solução da equação.

Passo 2

Rearranjando a equação para separar as variáveis: Vamos começar movendo todos os termos que envolvem para um lado e os que envolvem para o outro lado. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por e por :
Simplificando, temos:
Explicação da teoria aplicada: Em equações diferenciais de variáveis separáveis, nosso objetivo é reescrever a equação de forma que todas as expressões envolvendo fiquem de um lado e as que envolvem fiquem do outro. Isso facilita a integração de cada lado separadamente.

Passo 3

Integrando ambos os lados: Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar cada lado da equação. Vamos integrar o lado esquerdo em relação a e o lado direito em relação a :
Explicação da teoria aplicada: A integração em ambos os lados nos permitirá encontrar uma relação entre e que satisfaz a equação diferencial original. É importante lembrar que, após a integração, devemos considerar uma constante de integração.

Passo 4

Simplificando a integração: Observamos que a expressão pode ser simplificada. Note que:
Portanto, podemos reescrever a integral do lado esquerdo como:
Explicação da teoria aplicada: Identificamos uma derivada que facilita a integração. Isso simplifica o processo e torna a resolução mais direta.

Passo 5

Realizando a integração: Agora, integramos ambos os lados:
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Onde é a constante de integração.
Explicação da teoria aplicada: Ao integrar ambos os lados, obtemos expressões que relacionam e . É fundamental lembrar de incluir a constante de integração após a integração.

Passo 6

Montando a solução geral: Igualando as duas integrais, temos:
Podemos reorganizar essa expressão para isolar :
Explicação da teoria aplicada: A solução geral de uma equação diferencial envolve uma constante de integração . Essa constante representa a família de todas as possíveis soluções da equação diferencial original.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante real.

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