Resolva as equações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação que envolve logaritmos:
Aqui, estamos trabalhando com logaritmos, que fazem parte da matéria de Funções Logarítmicas. Para resolver essa equação, vamos precisar entender algumas propriedades dos logaritmos e manipular as expressões para encontrar o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão que tem o logaritmo de base
. Sabemos que:
Então, podemos reescrever a equação assim:
Passo 3
Agora, vamos usar a propriedade dos logaritmos que diz:
Aplicando isso, temos:
Passo 4
Se os logaritmos de duas expressões são iguais, então as próprias expressões também são iguais (desde que estejam dentro do domínio dos logaritmos). Portanto:
Passo 5
Vamos resolver essa equação racional. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 6
Agora, vamos expandir o lado direito:
Passo 7
Vamos trazer todos os termos para um lado da equação para formar uma equação quadrática igual a zero:
Passo 8
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Passo 9
Agora, vamos resolver a equação quadrática. Procuramos dois números que multiplicados dão 14 e somados dão -9. Esses números são -7 e -2. Então, a equação fatorada fica:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 10
Precisamos verificar se essas soluções estão dentro do domínio original da equação, ou seja, se os argumentos dos logaritmos são positivos:
O valor que satisfaz todas essas condições é
.
Resposta
A solução da equação é
.
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Fatore as expressões a seguir:
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.