Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso faz parte do conteúdo de séries infinitas e testes de convergência. Para resolver, vamos precisar entender sobre convergência absoluta e usar o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta da série. Isso significa que vamos considerar a série com os valores absolutos dos termos:

Passo 3

Simplificando um pouco, podemos tirar a constante para fora da soma:

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para verificar a convergência dessa série. O Teste da Razão diz que, se :
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Vamos calcular o limite:

Passo 5

Calculando o limite quando vai para o infinito:
Como , pelo Teste da Razão, a série converge.

Passo 6

Já que a série dos valores absolutos converge, isso significa que a série original é absolutamente convergente. E quando uma série é absolutamente convergente, ela também é convergente de forma condicional. Porém, aqui a convergência absoluta é a análise principal.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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