Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a série infinita:
Queremos determinar se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de convergência de séries, especialmente os testes de convergência absoluta e série alternada.

Passo 2

Vamos começar verificando se a série é absolutamente convergente. Para isso, consideramos o valor absoluto dos termos da série:

Passo 3

Agora, precisamos analisar se a série converge. Sabemos que o arco-tangente de , , tende a conforme aumenta. Então, para valores grandes de , é aproximadamente uma constante ( ).

Passo 4

Com isso, a série se comporta de maneira semelhante à série . Essa última é uma série p, onde .

Passo 5

Sabemos que uma série p converge se . Como no nosso caso , a série converge.

Passo 6

Como para todo , e a série comparativa converge, pela comparação direta, a série também converge.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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Resolva as equações:
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