Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a série infinita:
Queremos determinar se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de convergência de séries, especialmente os testes de convergência absoluta e série alternada.
Passo 2
Vamos começar verificando se a série é absolutamente convergente. Para isso, consideramos o valor absoluto dos termos da série:
Passo 3
Agora, precisamos analisar se a série converge. Sabemos que o arco-tangente de , , tende a conforme aumenta. Então, para valores grandes de , é aproximadamente uma constante ().
Passo 4
Com isso, a série se comporta de maneira semelhante à série . Essa última é uma série p, onde .
Passo 5
Sabemos que uma série p converge se . Como no nosso caso , a série converge.
Passo 6
Como para todo , e a série comparativa converge, pela comparação direta, a série também converge.