Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A gente vai precisar entender como aplicar a transformada nos termos da equação, especialmente nos derivados, e depois usar as condições iniciais para achar a solução. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos anotar a equação diferencial que temos:
E as condições iniciais são todas zero:
Aqui,
é a quarta derivada de
em relação ao tempo
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada de ordem
é:
Como todas as condições iniciais são zero, a expressão fica mais simples.
Passo 4
Aplicando a Transformada de Laplace na equação diferencial:
Usando a fórmula da derivada:
Como
, simplificamos para:
Passo 5
Agora, vamos fatorar o
:
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 6
Vamos fatorar o denominador
:
Então, temos:
Passo 7
Agora, vamos decompor frações parciais para facilitar a inversão da Transformada de Laplace. Queremos escrever
na forma:
Passo 8
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Essa equação será usada para encontrar os valores de
,
,
,
,
e
.
Passo 9
Para simplificar, podemos substituir valores específicos de
que tornam alguns termos zero:
- Para
:
- Para
:
Simplificando:
- Para
:
Simplificando:
Vamos precisar de mais equações para resolver para
,
,
e
.
Passo 10
Expanda e iguale os coeficientes para os termos de
em ambos os lados da equação. Isso vai nos dar um sistema de equações para resolver os valores desconhecidos.
Após resolver o sistema, encontramos:
Passo 11
Agora, substituímos os valores encontrados na expressão de
:
Simplificando:
Passo 12
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Resolva as equações:
Resolva as equações:
Use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação íntegro-diferencial.
a)
b)
c)
d) sent
e)
g)
h)
i)
a)
b)
c)
d)
e)
g)
h)
i)
Considere o campo vetorial
Determine se
é ou não conservativo.