Use o Teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r. Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
a) F(x, y, z)=(x+y^2) i+(y+z^2) j+(z+x^2) k, C é o triângulo com vértices (1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1) 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral de linha usando o Teorema de Stokes. O enunciado nos dá um campo vetorial e uma curva , que é o triângulo formado pelos pontos , e . O Teorema de Stokes vai nos ajudar a transformar essa integral de linha em uma integral de superfície, facilitando os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que a integral de linha de ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS ao longo de é igual à integral de superfície do rotacional de sobre uma superfície que tem como contorno. Em fórmulas:
Onde é o vetor normal à superfície .

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z )i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x )j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y )k , ou seja, Fx = x + y^2, Fy = y + z^2, Fz = z + x^2 . Para isso, usamos a seguinte fórmula:
partial Fzpartial y = 0, partial Fypartial z = 2z
Substituindo os componentes de partial Fxpartial z = 0, partial Fzpartial x = 2x :
partial Fypartial x = 0, partial Fxpartial y = 2y
Calculando as derivadas:
nabla times F = (0 - 2z)i + (0 - 2x)j + (0 - 2y)k = -2zi - 2xj - 2yk
Então:

Passo 4

Agora, precisamos escolher uma superfície cujo contorno seja o triângulo . Vamos escolher a própria face do triângulo, que é um plano. Para facilitar, podemos parametrizar essa superfície.
Primeiro, notamos que os três pontos , e estão no plano . Podemos resolver para .

Passo 5

Vamos determinar o vetor normal ao plano. Como a equação do plano é , o vetor normal é dado pelos coeficientes de , e , ou seja, .
É importante garantir que a orientação do vetor normal seja compatível com a orientação da curva . Como está orientada no sentido anti-horário quando vista de cima, o vetor normal deve apontar para fora do “lado de cima”, ou seja, na direção positiva do eixo .

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral de superfície:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Substituindo integral duplaS (-2zi - 2xj - 2yk) cdot (i + j + k) , dS = integral duplaS (-2z - 2x - 2y) , dS e integral duplaS -2(x + y + z) , dS :
integral duplaS -2(1) , dS = -2 integral duplaS , dS
Simplificando:
Como no plano , , substituímos:
A integral representa a área da superfície , que é o triângulo.

Passo 7

Vamos calcular a área do triângulo com vértices AB = (-1, 1, 0), AC = (-1, 0, 1) , AB times AC = i & j & k -1 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 = (1 cdot 1 - 0 cdot 0)i - (-1 cdot 1 - 0 cdot (-1))j + (-1 cdot 0 - 1 cdot (-1))k = i + j + k e |AB times AC| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3 . A área de um triângulo no espaço pode ser calculada usando a norma do produto vetorial de dois vetores que formam os lados do triângulo.
Escolhemos dois lados:
Área = 12 |AB times AC| = raiz32
Produto vetorial:
A norma desse vetor é:
Então, a área do triângulo é:
Á

Passo 8

Voltando à nossa integral:
-2 integral duplaS , dS = -2 times raiz32 = -raiz3
Portanto, a integral de linha é igual a .

Resposta

ointC F cdot dr = -raiz3

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Calcule:
e) arcsen(sen 2)
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