Use o Teorema de Stokes para calcular . Em cada caso, é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
a) é o triângulo com vértices .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral de linha usando o Teorema de Stokes. O enunciado nos dá um campo vetorial e uma curva , que é o triângulo formado pelos pontos , e . O Teorema de Stokes vai nos ajudar a transformar essa integral de linha em uma integral de superfície, facilitando os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que a integral de linha de ao longo de é igual à integral de superfície do rotacional de sobre uma superfície que tem como contorno. Em fórmulas:
Onde é o vetor normal à superfície .
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de , ou seja, . Para isso, usamos a seguinte fórmula:
Substituindo os componentes de :
Calculando as derivadas:
Então:
Passo 4
Agora, precisamos escolher uma superfície cujo contorno seja o triângulo . Vamos escolher a própria face do triângulo, que é um plano. Para facilitar, podemos parametrizar essa superfície.
Primeiro, notamos que os três pontos , e estão no plano . Podemos resolver para .
Passo 5
Vamos determinar o vetor normal ao plano. Como a equação do plano é , o vetor normal é dado pelos coeficientes de , e , ou seja, .
É importante garantir que a orientação do vetor normal seja compatível com a orientação da curva . Como está orientada no sentido anti-horário quando vista de cima, o vetor normal deve apontar para fora do “lado de cima”, ou seja, na direção positiva do eixo .
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral de superfície:
Substituindo e :
Simplificando:
Como no plano , , substituímos:
A integral representa a área da superfície , que é o triângulo.
Passo 7
Vamos calcular a área do triângulo com vértices , e . A área de um triângulo no espaço pode ser calculada usando a norma do produto vetorial de dois vetores que formam os lados do triângulo.
Escolhemos dois lados:
Produto vetorial:
A norma desse vetor é:
Então, a área do triângulo é:
Á
Passo 8
Voltando à nossa integral:
-2 integral duplaS , dS = -2 times raiz32 = -raiz3