Desenvolva a função dada em uma série de senos ou de cossenos, conforme o caso.
a) f(x) = {-1 se -pi < x < 0; 1 se 0 <= x < pi}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenvolver uma função em uma série de senos ou cossenos. A função que temos é definida assim:
Vamos usar a matéria de séries de Fourier, que ajuda a representar funções periódicas como soma de senos e cossenos. Para resolver, vamos precisar identificar se a função é par ou ímpar e então usar a fórmula adequada da série de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a função é par ou ímpar. Uma função é par se e ímpar se . No nosso caso:
Observamos que , então a função é ímpar. Isso significa que a série de Fourier vai ter apenas termos de senos.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula da série de Fourier para funções ímpares:
Onde os coeficientes são calculados por:
Como nossa função é ímpar, podemos integrar de 0 a e multiplicar por 2.

Passo 4

Vamos calcular os coeficientes . Sabemos que para , . Então:
Calculando a integral:

Passo 5

Vamos simplificar . Notamos que é zero quando é par e 2 quando é ímpar. Então, para ímpar, temos:
E para par, . Então a série de Fourier só tem termos com ímpar.

Passo 6

Finalmente, podemos escrever a série de Fourier da função :
Onde é um número inteiro positivo (1, 2, 3, …).

Resposta

A série de Fourier da função é dada por:

Exercícios relacionados

Estude a paridade das funções a seguir.
g) f(x) = { x^2 se -1 < x < 0; -x^2 se 0 < x < 1 };
Resolva a equaçõo de Bernoulli
d/y - y = e^x y^2
Calcule a derivada: f(t) = 12 - 3 t^4 - 4 t^6
Calcule a derivada: g(t) = 6 t^(5/3)