Desenvolva a função dada em uma série de senos ou de cossenos, conforme o caso.
a)
;
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenvolver uma função em uma série de senos ou cossenos. A função que temos é definida assim:
Vamos usar a matéria de séries de Fourier, que ajuda a representar funções periódicas como soma de senos e cossenos. Para resolver, vamos precisar identificar se a função é par ou ímpar e então usar a fórmula adequada da série de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a função é par ou ímpar. Uma função é par se
e ímpar se
. No nosso caso:
Observamos que
, então a função é ímpar. Isso significa que a série de Fourier vai ter apenas termos de senos.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da fórmula da série de Fourier para funções ímpares:
Onde os coeficientes
são calculados por:
Como nossa função é ímpar, podemos integrar de 0 a
e multiplicar por 2.
Passo 4
Vamos calcular os coeficientes
. Sabemos que para
,
. Então:
Calculando a integral:
Passo 5
Vamos simplificar
. Notamos que
é zero quando
é par e 2 quando
é ímpar. Então, para
ímpar, temos:
E para
par,
. Então a série de Fourier só tem termos com
ímpar.
Passo 6
Finalmente, podemos escrever a série de Fourier da função
:
Onde
é um número inteiro positivo (1, 2, 3, …).
Resposta
A série de Fourier da função é dada por:
Exercícios relacionados
Estude a paridade das funções a seguir.
g) ;
g)
Resolva a equaçõo de Bernoulli
Calcule a derivada:
Calcule a derivada: