Resolva graficamente os problemas de programação linear abaixo (faça o gráfico da região viável, encontre o gradiente, trace ao menos duas curvas de nível e encontre x* e :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de programação linear juntos! A ideia aqui é minimizar a função sujeita a algumas restrições. Vamos precisar desenhar o gráfico das restrições para encontrar a região viável, identificar o gradiente da função objetivo, traçar duas curvas de nível e, por fim, descobrir os valores de e que minimizam .
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar as restrições no gráfico. As inequações são:
e
Para cada uma, vamos encontrar os pontos onde elas interceptam os eixos e .
Passo 3
Para :
Quando : →
Quando :
Então, temos os pontos (0, ) e (7, 0).
Passo 4
Para :
Dividindo tudo por 2:
Quando :
Quando :
Então, os pontos são (0, 4) e (4, 0).
Passo 5
Para :
Quando :
Quando :
Os pontos s��o (0, 3) e (3, 0).
Passo 6
Agora, plotamos todas essas retas no gráfico, lembrando que estamos considerando apenas e . A interseção dessas áreas é a nossa região viável.
Passo 7
Vamos identificar o gradiente da função objetivo . O gradiente é dado pelos coeficientes de e , ou seja, . Isso nos mostra a direção em que aumenta mais rapidamente.
Passo 8
Vamos traçar duas curvas de nível para . Por exemplo:
Para : → Passa pela origem.
Para : → Quando , ; quando , .
Essas curvas ajudam a visualizar onde alcança diferentes valores dentro da região viável.
Passo 9
Finalmente, para encontrar e , analisamos os vértices da região viável, pois o mínimo de ocorre em algum desses pontos. Os vértices são: