Resolva graficamente os problemas de programação linear abaixo (faça o gráfico da região viável, encontre o gradiente, trace ao menos duas curvas de nível e encontre x* e :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de programação linear juntos! A ideia aqui é minimizar a função sujeita a algumas restrições. Vamos precisar desenhar o gráfico das restrições para encontrar a região viável, identificar o gradiente da função objetivo, traçar duas curvas de nível e, por fim, descobrir os valores de e que minimizam .

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar as restrições no gráfico. As inequações são:
  1. e
Para cada uma, vamos encontrar os pontos onde elas interceptam os eixos e .

Passo 3

Para :
  • Quando :
  • Quando :
Então, temos os pontos (0, ) e (7, 0).

Passo 4

Para :
  • Dividindo tudo por 2:
  • Quando :
  • Quando :
Então, os pontos são (0, 4) e (4, 0).

Passo 5

Para :
  • Quando :
  • Quando :
Os pontos s��o (0, 3) e (3, 0).

Passo 6

Agora, plotamos todas essas retas no gráfico, lembrando que estamos considerando apenas e . A interseção dessas áreas é a nossa região viável.

Passo 7

Vamos identificar o gradiente da função objetivo . O gradiente é dado pelos coeficientes de e , ou seja, . Isso nos mostra a direção em que aumenta mais rapidamente.

Passo 8

Vamos traçar duas curvas de nível para . Por exemplo:
  • Para : → Passa pela origem.
  • Para : → Quando , ; quando , .
Essas curvas ajudam a visualizar onde alcança diferentes valores dentro da região viável.

Passo 9

Finalmente, para encontrar e , analisamos os vértices da região viável, pois o mínimo de ocorre em algum desses pontos. Os vértices são:
  • (0, 0):
  • (0, 3):
  • (2, 1):
  • (3, 0):
O menor valor de é 0, que ocorre em .

Resposta

O ponto ótimo é , e o valor mínimo de .

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