b) c MaximizarZ =8 x+10 y sa -x+y <= 2 4 x+5 y >= 20 x <= 6, y >= 4 x, y >= 0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema de Programação Linear que você enviou. Aqui, a gente precisa maximizar a função sujeita a algumas restrições. Para resolver isso, vamos precisar entender as inequações que definem as condições que e devem satisfazer e, a partir daí, encontrar os valores ótimos para e que tornam o maior possível.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as restrições que temos:
Essas inequações vão definir uma região no plano onde as soluções são válidas. Nosso objetivo é encontrar os pontos dentro dessa região que maximizam a função .

Passo 3

Agora, vamos desenhar cada uma dessas restrições no gráfico para identificar a região viável:
  1. Para :
    • Rearranjando:
    • É uma reta com inclinação 1 e intercepto em 2.
  2. Para :
    • Rearranjando:
    • É uma reta com inclinação e intercepto em 4.
  3. Para :
    • É uma linha vertical no .
  4. Para :
    • É uma linha horizontal no .
  5. significa que estamos no primeiro quadrante do gráfico.
Depois de desenhar todas essas linhas, a interseção delas vai formar a região viável onde vamos buscar a solução ótima.

Passo 4

Vamos encontrar os pontos de vértice dessa região viável, pois a solução ótima sempre está em um desses pontos. Os vértices são os pontos onde as restrições se cruzam:
  1. Interseção de y = x + 2 4x + 5(x + 2) = 20 e 4x + 5x + 10 = 20 Rightarrow 9x = 10 Rightarrow x = 109 approx 1,11 :
    • Resolvendo o sistema: y = 109 + 2 = 289 approx 3,11 4x + 5(4) = 20 Rightarrow 4x = 0 Rightarrow x = 0 4(6) + 5y = 20 Rightarrow 24 + 5y = 20 Rightarrow 5y = -4 Rightarrow y = -45 Porém, , então esse ponto não está na região viável.
  2. Interseção de e :
    • Substituindo na segunda equação: Ponto:
  3. Interseção de e :
    • Ponto:
  4. Interseção de e :
    • Substituindo na segunda equação: Esse valor de é menor que 4, então não está na região viável.
Portanto, os vértices da região viável são e .

Passo 5

Agora, vamos avaliar a função objetivo Z = 8(0) + 10(4) = 0 + 40 = 40 nesses pontos para ver qual deles dá o maior valor:
  1. No ponto Z = 8(6) + 10(4) = 48 + 40 = 88 :
  2. No ponto :

Resposta

O valor máximo de é 88, alcançado no ponto .

Exercícios relacionados