Resolva a inequação .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação . Essa questão envolve o estudo de logaritmos e inequações. Para resolver, vamos precisar conhecer as propriedades dos logaritmos e saber como resolver desigualdades. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma das propriedades dos logaritmos, que diz que . Aplicando isso na nossa inequação:
Então, a inequação fica:

Passo 3

Agora, para resolver a inequação , vamos lembrar que significa que , assumindo que . Aqui, estamos lidando com log na base 10 (pois não foi especificado), então:
Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos resolver a desigualdade . Primeiro, vamos subtrair 10 de ambos os lados para ter tudo do mesmo lado:
Para facilitar, vamos ter um denominador comum:
Simplificando o numerador:
Então, a inequação fica:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dividindo todos os termos por -6 (lembre-se que ao multiplicar ou dividir por um número negativo em uma inequação, o sinal da desigualdade inverte):
Agora, nossa inequação é:

Passo 6

Para resolver , vamos encontrar os pontos onde a expressão é igual a zero ou indefinida:
Esses pontos dividem a reta numérica em intervalos que vamos testar:

Passo 7

Vamos testar cada intervalo:
  1. Para :
    • é negativo
    • é negativo
    • A fração é positiva (negativo dividido por negativo dá positivo)
    • Não satisfaz a inequação
  2. Para :
    • é negativo
    • é positivo
    • A fração é negativa
    • Satisfaz a inequação
  3. Para :
    • é positivo
    • é positivo
    • A fração é positiva
    • Não satisfaz a inequação

Passo 8

Além disso, precisamos verificar as condições iniciais dos logaritmos:
Então, a solução deve respeitar .

Resposta

A solução da inequação é .

Exercícios relacionados

(Mackenzie) A soma das raízes da equação é:
a. 2
b. 3
c. 4
d. 6
e. 7
Resolva as equações:
a.
b.
c.
d.
e.
Calcule.
Calcule.