Resolva as inequações:
(h)
(h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a inequação
. Aqui, vamos usar conhecimentos de inequações racionais, que envolvem frações com polinômios no numerador e denominador. Para resolver, vamos precisar identificar os valores de
que fazem essa desigualdade verdadeira, analisando onde as duas frações são definidas e comparando seus valores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da inequação, ou seja, os valores de
que não deixam os denominadores iguais a zero, pois divisão por zero não é permitida.
Temos dois denominadores:
-
→ -
→
Então, o domínio é todos os reais menos
e
.
Passo 3
Agora, vamos reorganizar a inequação para ter tudo de um lado. Subtraímos
de ambos os lados:
Para simplificar, vamos encontrar um denominador comum para as duas frações, que é
. Assim, reescrevemos as frações:
Simplificando o numerador:
Podemos fatorar o numerador:
Passo 4
Vamos simplificar a inequação multiplicando ambos os lados por -1, lembrando que isso inverte o sinal da desigualdade:
Agora, temos uma inequação racional que será resolvida analisando os sinais do numerador e denominador.
Passo 5
Identificamos os pontos críticos onde o numerador ou denominador é zero:
- Numerador:
→ - Denominador:
→ e →
Esses valores dividem a reta numérica em intervalos que vamos testar para determinar onde a inequação é verdadeira.
Passo 6
Organizando os pontos críticos na ordem crescente:
,
, e
. Isso divide a reta numérica em quatro intervalos:
Vamos escolher um número em cada intervalo e verificar o sinal da expressão
.
-
Intervalo 1 (
): Vamos usar [ \frac{3(0 - 3)}{(0 - 2)(2(0) - 1)} = \frac{-9}{(-2)(-1)} = \frac{-9}{2} ) → Negativo -
Intervalo 2 (
): Vamos usar [ \frac{3(1 - 3)}{(1 - 2)(2(1) - 1)} = \frac{-6}{(-1)(1)} = \frac{-6}{-1} = 6 ) → Positivo -
Intervalo 3 (
): Vamos usar [ \frac{3(2.5 - 3)}{(2.5 - 2)(2(2.5) - 1)} = \frac{3(-0.5)}{(0.5)(4)} = \frac{-1.5}{2} = -0.75 ) → Negativo -
Intervalo 4 (
): Vamos usar [ \frac{3(4 - 3)}{(4 - 2)(2(4) - 1)} = \frac{3(1)}{(2)(7)} = \frac{3}{14} ) → Positivo
Passo 7
Como a inequação é
, procuramos os intervalos onde a expressão é menor ou igual a zero (ou seja, negativa ou igual a zero).
Observamos que os intervalos onde a expressão é negativa são:
Além disso, os pontos onde a expressão é igual a zero são
, já que o numerador é zero. Contudo,
e
são excluídos do domínio.
Resposta
A solução da inequação é
.
Exercícios relacionados
Efetue as operações indicadas:
(b)
(b)
Simplifique:
(b)
(b)
Sendo
e
, obtenha:
(e)
(e)
Calcule o valor numérico das expressōes:
(d)
(d)