Resolva as inequações:
(h)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação . Aqui, vamos usar conhecimentos de inequações racionais, que envolvem frações com polinômios no numerador e denominador. Para resolver, vamos precisar identificar os valores de que fazem essa desigualdade verdadeira, analisando onde as duas frações são definidas e comparando seus valores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da inequação, ou seja, os valores de que não deixam os denominadores iguais a zero, pois divisão por zero não é permitida.
Temos dois denominadores:
Então, o domínio é todos os reais menos e .

Passo 3

Agora, vamos reorganizar a inequação para ter tudo de um lado. Subtraímos de ambos os lados:
Para simplificar, vamos encontrar um denominador comum para as duas frações, que é . Assim, reescrevemos as frações:
Simplificando o numerador:
Podemos fatorar o numerador:

Passo 4

Vamos simplificar a inequação multiplicando ambos os lados por -1, lembrando que isso inverte o sinal da desigualdade:
Agora, temos uma inequação racional que será resolvida analisando os sinais do numerador e denominador.

Passo 5

Identificamos os pontos críticos onde o numerador ou denominador é zero:
  • Numerador:
  • Denominador: e
Esses valores dividem a reta numérica em intervalos que vamos testar para determinar onde a inequação é verdadeira.

Passo 6

Organizando os pontos críticos na ordem crescente: , , e . Isso divide a reta numérica em quatro intervalos:
Vamos escolher um número em cada intervalo e verificar o sinal da expressão .
  • Intervalo 1 ( ): Vamos usar
    [ \frac{3(0 - 3)}{(0 - 2)(2(0) - 1)} = \frac{-9}{(-2)(-1)} = \frac{-9}{2} ) → Negativo
  • Intervalo 2 ( ): Vamos usar
    [ \frac{3(1 - 3)}{(1 - 2)(2(1) - 1)} = \frac{-6}{(-1)(1)} = \frac{-6}{-1} = 6 ) → Positivo
  • Intervalo 3 ( ): Vamos usar
    [ \frac{3(2.5 - 3)}{(2.5 - 2)(2(2.5) - 1)} = \frac{3(-0.5)}{(0.5)(4)} = \frac{-1.5}{2} = -0.75 ) → Negativo
  • Intervalo 4 ( ): Vamos usar
    [ \frac{3(4 - 3)}{(4 - 2)(2(4) - 1)} = \frac{3(1)}{(2)(7)} = \frac{3}{14} ) → Positivo

Passo 7

Como a inequação é , procuramos os intervalos onde a expressão é menor ou igual a zero (ou seja, negativa ou igual a zero).
Observamos que os intervalos onde a expressão é negativa são:
Além disso, os pontos onde a expressão é igual a zero são , já que o numerador é zero. Contudo, e são excluídos do domínio.

Resposta

A solução da inequação é .

Exercícios relacionados

Efetue as operações indicadas:
(b)
Simplifique:
(b)
Sendo e , obtenha:
(e)
Calcule o valor numérico das expressōes:
(d)