Resolva as integrais abaixo.
47)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente com decomposição em frações parciais. Vamos precisar fatorar o denominador e expressar a fração como uma soma de frações mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fração como uma soma de frações parciais. Como o denominador tem fatores e , assumimos a forma:

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:

Passo 4

Agora, expandimos e simplificamos o lado direito da equação:

Passo 5

Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:

Passo 6

Resolvemos o sistema de equações:
  1. Da primeira equação:
  2. Substituindo na segunda equação:
  1. Substituindo e na terceira equação:
  1. Então:

Passo 7

Agora que encontramos , e , substituímos de volta na decomposição das frações parciais:

Passo 8

Agora, integramos cada termo separadamente:

Passo 9

Calculamos cada integral:

Resposta

Então, a integral é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Para cada caso, determine o valor de e encontre o domínio de quando .
Resolva as integrais abaixo.
31)
Seja uma função, dada por . Determine .
Resolva as integrais abaixo.
59)