Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente com decomposição em frações parciais. Vamos precisar fatorar o denominador e expressar a fração como uma soma de frações mais simples para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a fração como uma soma de frações parciais. Como o denominador tem fatores e , assumimos a forma:
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Passo 4
Agora, expandimos e simplificamos o lado direito da equação:
Passo 5
Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
Passo 6
Resolvemos o sistema de equações:
Da primeira equação: -3A + B - 2(-A) = 1 Rightarrow -3A + B + 2A = 1 Rightarrow -A + B = 1 Rightarrow B = A + 1
Substituindo 2A - 2(A + 1) + (-A) = 1 Rightarrow 2A - 2A - 2 - A = 1 Rightarrow -A - 2 = 1 Rightarrow -A = 3 Rightarrow A = -3 na segunda equação:
C = -A = 3 B = A + 1 = -3 + 1 = -2
Substituindo e na terceira equação:
Então:
Passo 7
Agora que encontramos x+1(x-1)^2(x-2) = -3x-1 + -2(x-1)^2 + 3x-2 , e , substituímos de volta na decomposição das frações parciais:
Passo 8
Agora, integramos cada termo separadamente:
integral x+1(x-1)^2(x-2) dx = integral ( -3x-1 + -2(x-1)^2 + 3x-2 ) dx
= -3 integral 1x-1 dx - 2 integral 1(x-1)^2 dx + 3 integral 1x-2 dx
Passo 9
Calculamos cada integral:
Resposta
Então, a integral é:
integral x+1(x-1)^2(x-2) dx = -3 ln|x-1| + 2x-1 + 3 ln|x-2| + C