Resolva as integrais abaixo.
47) integral x+1(x-1)^2(x-2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente com decomposição em frações parciais. Vamos precisar fatorar o denominador e expressar a fração como uma soma de frações mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fração x+1(x-1)^2(x-2) = Ax-1 + B(x-1)^2 + Cx-2 como uma soma de frações parciais. Como o denominador tem fatores e , assumimos a forma:

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum x + 1 = A(x-1)(x-2) + B(x-2) + C(x-1)^2 para eliminar as frações:

Passo 4

Agora, expandimos e simplificamos o lado direito da equação:
x + 1 = A(x^2 - 3x + 2) + B(x - 2) + C(x^2 - 2x + 1)
x + 1 = (A + C)x^2 + (-3A + B - 2C)x + (2A - 2B + C)

Passo 5

Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
A + C = 0 & (coeficiente de x^2) -3A + B - 2C = 1 & (coeficiente de x) 2A - 2B + C = 1 & (termo constante)

Passo 6

Resolvemos o sistema de equações:
  1. Da primeira equação: -3A + B - 2(-A) = 1 Rightarrow -3A + B + 2A = 1 Rightarrow -A + B = 1 Rightarrow B = A + 1
  2. Substituindo 2A - 2(A + 1) + (-A) = 1 Rightarrow 2A - 2A - 2 - A = 1 Rightarrow -A - 2 = 1 Rightarrow -A = 3 Rightarrow A = -3 na segunda equação:
C = -A = 3 B = A + 1 = -3 + 1 = -2
  1. Substituindo e na terceira equação:
  1. Então:

Passo 7

Agora que encontramos x+1(x-1)^2(x-2) = -3x-1 + -2(x-1)^2 + 3x-2 , e , substituímos de volta na decomposição das frações parciais:

Passo 8

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral x+1(x-1)^2(x-2) dx = integral ( -3x-1 + -2(x-1)^2 + 3x-2 ) dx
= -3 integral 1x-1 dx - 2 integral 1(x-1)^2 dx + 3 integral 1x-2 dx

Passo 9

Calculamos cada integral:

Resposta

Então, a integral é:
integral x+1(x-1)^2(x-2) dx = -3 ln|x-1| + 2x-1 + 3 ln|x-2| + C
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados