Resolva as integrais abaixo.
31) integral(3 x^5(1+e^x^3) d x

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos resolver a integral . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição, para resolver essa integral.

Passo 2

Vamos observar a integral integral 3x^5 cdot 1 , dx + integral 3x^5 cdot e^x^3 , dx . Podemos distribuir o integral 3x^5 , dx + integral 3x^5 e^x^3 , dx dentro do parêntese:
Isso simplifica para:

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral separadamente:
integral 3x^5 , dx
Para integrar integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C , usamos a regra de potência da integração:
3x^66 = x^62
Aplicando isso:

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral 3x^5 e^x^3 , dx
Aqui, usamos a técnica de substituição. Vamos deixar dudx = 3x^2 Rightarrow du = 3x^2 dx . Então, a derivada de integral e^u cdot x^3 cdot du em relação a integral u e^u , du é:
Precisamos ajustar a integral para expressá-la em termos de . Observe que .
Substituindo na integral:
Mas , então a integral fica:

Passo 5

A integral integral u , dv = uv - integral v , du pode ser resolvida por partes. Vamos usar a fórmula de integração por partes:
u e^u - integral e^u , du = u e^u - e^u + C = e^u(u - 1) + C
Escolhemos:
  • e^x^3(x^3 - 1) + C
Aplicando:
Substituindo de volta :

Resposta

A integral x^62 + e^x^3(x^3 - 1) + C é igual a:

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