Resolva as integrais abaixo.
59)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais racionais, onde a gente tem um polinômio no numerador e outro no denominador. Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais, que ajudam a quebrar a expressão em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador
. A gente precisa fatorar esse polinômio para facilitar a divisão. Vamos tentar fatorar
:
Para fatorar, procuramos dois números que multiplicados dão
e que somados dão
. Esses números são
e
, mas infelizmente não encontramos uma combinação que funcione. Então, vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Como o discriminante (
) é negativo, o denominador não pode ser fatorado com números reais. Portanto, a gente vai precisar fazer a divisão polinomial diretamente ou usar uma substituição.
Passo 3
Como a fatoração não é possível com números reais, vamos tentar dividir o numerador pelo denominador para simplificar a integral. Observamos que o grau do numerador (1) é menor que o grau do denominador (2), então não precisamos fazer divisão longa. Nesse caso, podemos seguir para a decomposição em frações parciais.
A ideia é escrever:
onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados da equação por
, que é
, temos:
Vamos expandir o lado direito:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações para encontrar
e
.
Primeira equação:
Segunda equação:
Agora, temos:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 6
Agora que encontramos
e
, podemos reescrever a integral original usando frações parciais:
Podemos simplificar isso:
Passo 7
Vamos resolver cada integral separadamente. Primeiro, para
:
Usamos a substituição
, então
ou
.
Assim:
Fazendo o mesmo para
:
Substituindo
,
,
:
Passo 8
Agora, substituindo de volta na expressão das frações parciais:
Simplificando os coeficientes:
Podemos fatorar
:
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
uma função, dada por
. Determine
.
Resolva as integrais abaixo.
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Seja
uma função, dada por
. Determine
.
Resolva as seguintes integrais trigonométricas:
65)
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