Resolva as integrais abaixo.
59) integral 2 x+39 x^2-12 x+8 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais racionais, onde a gente tem um polinômio no numerador e outro no denominador. Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais, que ajudam a quebrar a expressão em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador 9x^2 - 12x + 8 . A gente precisa fatorar esse polinômio para facilitar a divisão. Vamos tentar fatorar x = 12 pm raiz(-12)^2 - 4 times 9 times 82 times 9 = 12 pm raiz144 - 28818 :
Para fatorar, procuramos dois números que multiplicados dão e que somados dão . Esses números são e , mas infelizmente não encontramos uma combinação que funcione. Então, vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Como o discriminante ( ) é negativo, o denominador não pode ser fatorado com números reais. Portanto, a gente vai precisar fazer a divisão polinomial diretamente ou usar uma substituição.

Passo 3

Como a fatoração não é possível com números reais, vamos tentar dividir o numerador pelo denominador para simplificar a integral. Observamos que o grau do numerador (1) é menor que o grau do denominador (2), então não precisamos fazer divisão longa. Nesse caso, podemos seguir para a decomposição em frações parciais.
A ideia é escrever:
2x + 39x^2 - 12x + 8 = A3x - 2 + B3x - 4
onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados da equação por 2x + 3 = A(3x - 4) + B(3x - 2) , que é 2x + 3 = 3A x - 4A + 3B x - 2B , temos:
2x + 3 = (3A + 3B)x + (-4A - 2B)
Vamos expandir o lado direito:
3A + 3B = 2 -4A - 2B = 3
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações para encontrar 3A + 3B = 2 Rightarrow A + B = 23 (dividindo os dois lados por 3) e -4A - 2B = 3 Rightarrow 2A + B = -32 (dividindo os dois lados por -2) .
Primeira equação:
A + B = 23 2A + B = -32
Segunda equação:
(2A + B) - (A + B) = -32 - 23 A = -136
Agora, temos:
-136 + B = 23 B = 23 + 136 = 176
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo na primeira equação:

Passo 6

Agora que encontramos integral 2x + 39x^2 - 12x + 8 , dx = integral ( -1363x - 2 + 1763x - 4 ) dx e = -136 integral 13x - 2 , dx + 176 integral 13x - 4 , dx , podemos reescrever a integral original usando frações parciais:
Podemos simplificar isso:

Passo 7

Vamos resolver cada integral separadamente. Primeiro, para integral 13x - 2 , dx = 13 integral 1u , du = 13 ln|u| + C = 13 ln|3x - 2| + C :
Usamos a substituição integral 13x - 4 , dx = 13 integral 1v , dv = 13 ln|v| + C = 13 ln|3x - 4| + C , então ou .
Assim:
Fazendo o mesmo para :
Substituindo , , :

Passo 8

Agora, substituindo de volta na expressão das frações parciais:
-136 cdot 13 ln|3x - 2| + 176 cdot 13 ln|3x - 4| + C
Simplificando os coeficientes:
-1318 ln|3x - 2| + 1718 ln|3x - 4| + C
Podemos fatorar 118 ( -13 ln|3x - 2| + 17 ln|3x - 4| ) + C :

Resposta

integral 2x + 39x^2 - 12x + 8 , dx = 118 ( -13 ln|3x - 2| + 17 ln|3x - 4| ) + C

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