Resolva as integrais abaixo.
59)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais racionais, onde a gente tem um polinômio no numerador e outro no denominador. Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais, que ajudam a quebrar a expressão em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador . A gente precisa fatorar esse polinômio para facilitar a divisão. Vamos tentar fatorar :
Para fatorar, procuramos dois números que multiplicados dão e que somados dão . Esses números são e , mas infelizmente não encontramos uma combinação que funcione. Então, vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Como o discriminante ( ) é negativo, o denominador não pode ser fatorado com números reais. Portanto, a gente vai precisar fazer a divisão polinomial diretamente ou usar uma substituição.

Passo 3

Como a fatoração não é possível com números reais, vamos tentar dividir o numerador pelo denominador para simplificar a integral. Observamos que o grau do numerador (1) é menor que o grau do denominador (2), então não precisamos fazer divisão longa. Nesse caso, podemos seguir para a decomposição em frações parciais.
A ideia é escrever:
onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados da equação por , que é , temos:
Vamos expandir o lado direito:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações para encontrar e .
Primeira equação:
Segunda equação:
Agora, temos:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo na primeira equação:

Passo 6

Agora que encontramos e , podemos reescrever a integral original usando frações parciais:
Podemos simplificar isso:

Passo 7

Vamos resolver cada integral separadamente. Primeiro, para :
Usamos a substituição , então ou .
Assim:
Fazendo o mesmo para :
Substituindo , , :

Passo 8

Agora, substituindo de volta na expressão das frações parciais:
Simplificando os coeficientes:
Podemos fatorar :

Resposta

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