Resolva as seguintes integrais trigonométricas:
65) integral cos ^5 sen^2 x d x

Passo 1

Então, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com integrais trigonométricas, que envolvem funções trigonométricas como seno e cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever cos^5 x para facilitar a integração. Podemos separar uma potência ímpar de cosseno:
cos^5 x = cos^4 x cdot cos x

Passo 3

Agora, usamos a identidade trigonométrica para substituir cos^2 x = 1 - sen^2 x:
Portanto, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar:
Então, a derivada de u = sen x em relação a u é:
x

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
integral (1 - u^2)^2 cdot u^2 , du
Agora, vamos expandir (1 - u^2)^2:
(1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4

Passo 6

Multiplicando pelo u^2:
1 cdot u^2 = u^2 -2u^2 cdot u^2 = -2u^4 u^4 cdot u^2 = u^6
Então, a integral fica:
integral ( u^2 - 2u^4 + u^6 ) , du

Passo 7

Agora, integrando cada termo separadamente:
integral u^2 , du = u^33 integral -2u^4 , du = -2u^55 integral u^6 , du = u^77
Portanto, a integral completa é:
u^33 - 2u^55 + u^77 + C

Passo 8

Finalmente, substituímos de volta na expressão:

Resposta

A integral é igual a:

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