Resolva as integrais abaixo:
(g) (Resposta: )

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com uma integral definida que envolve uma função polinomial e uma raiz quadrada . Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição que ajuda a simplificar integrais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a raiz quadrada. Vamos definir:
Isso significa que vamos expressar tudo em termos de para facilitar a integração. Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a :
Precisamos isolar :

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral original em termos de . Primeiro, observe que . Sabemos que (da substituição que fizemos). Então:
Substituindo por :
Então, a integral original fica:

Passo 4

Vamos determinar os novos limites de integração em termos de :
Quando :
Quando :
Portanto, os novos limites são de a . Podemos trocar os limites e remover o sinal negativo:

Passo 5

Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Podemos separar a integral em duas partes:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo. Lembrando que:
Então:
E:
Substituindo na integral:

Passo 7

Agora, vamos avaliar a expressão nos limites de integração de a :
Como os termos com são nulos, fica apenas:
Calculando e :
Substituindo:

Passo 8

Vamos combinar as frações:
Então, multiplicando por :

Resposta

A integral é igual a .

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