Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com uma integral definida que envolve uma função polinomial e uma raiz quadrada . Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição que ajuda a simplificar integrais complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a raiz quadrada. Vamos definir:
Isso significa que vamos expressar tudo em termos de para facilitar a integração. Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a :
Precisamos isolar :
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integral original em termos de . Primeiro, observe que . Sabemos que (da substituição que fizemos). Então:
Substituindo por :
Então, a integral original fica:
Passo 4
Vamos determinar os novos limites de integração em termos de :
Quando :
Quando :
Portanto, os novos limites são de a . Podemos trocar os limites e remover o sinal negativo:
Passo 5
Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Podemos separar a integral em duas partes:
Passo 6
Vamos integrar termo a termo. Lembrando que:
Então:
E:
Substituindo na integral:
Passo 7
Agora, vamos avaliar a expressão nos limites de integração de 12 ( 323 (16)^3/2 - 25 (16)^5/2 ) - 12 ( 323 (0)^3/2 - 25 (0)^5/2 ) a 12 ( 323 (16)^3/2 - 25 (16)^5/2 ) :
16^3/2 = (16)^1 cdot (16)^1/2 = 16 cdot 4 = 64
Como os termos com 16^5/2 = (16)^2 cdot (16)^1/2 = 256 cdot 4 = 1024 são nulos, fica apenas: