Resolva as integrais abaixo:
(g) integral0^4 x^3 raiz16-x^2 d x (Resposta: 204815 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com uma integral definida que envolve uma função polinomial e uma raiz quadrada . Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição que ajuda a simplificar integrais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a raiz quadrada. Vamos definir:
u = 16 - x^2
Isso significa que vamos expressar tudo em termos de dudx = -2x Rightarrow du = -2x , dx para facilitar a integração. Agora, vamos encontrar a derivada de x , dx = -12 du em relação a :
Precisamos isolar :

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral original em termos de x^3 raiz16 - x^2 , dx = x^2 cdot x cdot raizu , dx = (16 - u) cdot x cdot raizu , dx . Primeiro, observe que (16 - u) cdot raizu cdot (-12 du) = -12 (16 - u) raizu , du . Sabemos que integral0^4 x^3 raiz16-x^2 , dx = -12 integralu(0)^u(4) (16 - u) raizu , du (da substituição que fizemos). Então:
Substituindo por :
Então, a integral original fica:

Passo 4

Vamos determinar os novos limites de integração em termos de u = 16 - x^2 :
u = 16 - 0 = 16
Quando u = 16 - 16 = 0 :
-12 integral16^0 (16 - u) raizu , du = 12 integral0^16 (16 - u) raizu , du
Quando :
Portanto, os novos limites são de a . Podemos trocar os limites e remover o sinal negativo:

Passo 5

Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
(16 - u) raizu = 16 raizu - u raizu = 16 u^1/2 - u^3/2
Então, a integral fica:
12 integral0^16 (16 u^1/2 - u^3/2) , du
Podemos separar a integral em duas partes:
12 ( 16 integral0^16 u^1/2 , du - integral0^16 u^3/2 , du )

Passo 6

Vamos integrar termo a termo. Lembrando que:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
Então:
16 integral u^1/2 , du = 16 cdot u^3/23/2 = 323 u^3/2
E:
integral u^3/2 , du = u^5/25/2 = 25 u^5/2
Substituindo na integral:
12 ( 323 u^3/2 - 25 u^5/2 ) g|0^16

Passo 7

Agora, vamos avaliar a expressão nos limites de integração de 12 ( 323 (16)^3/2 - 25 (16)^5/2 ) - 12 ( 323 (0)^3/2 - 25 (0)^5/2 ) a 12 ( 323 (16)^3/2 - 25 (16)^5/2 ) :
16^3/2 = (16)^1 cdot (16)^1/2 = 16 cdot 4 = 64
Como os termos com 16^5/2 = (16)^2 cdot (16)^1/2 = 256 cdot 4 = 1024 são nulos, fica apenas:
12 ( 323 cdot 64 - 25 cdot 1024 ) = 12 ( 20483 - 20485 )
Calculando e :
Substituindo:

Passo 8

Vamos combinar as frações:
20483 - 20485 = 2048 ( 5 - 315 ) = 2048 cdot 215 = 409615
Então, multiplicando por 12 cdot 409615 = 409630 = 204815 :

Resposta

A integral é igual a .

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