Calcule as seguintes integrais de funções trigonométricas:
(f) integral tg^3(x) sec (x) d x (Resposta: 13 sec ^3(x)-sec (x)+C)
4
Calcule as integrais seguir, por partes:
(a) integral x e^2 x d x( Resposta: e^2 x2(x-12)+C)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . A gente vai trabalhar com funções trigonométricas aqui, então vamos usar algumas identidades trigonométricas para simplificar.

Passo 2

Primeiro, podemos reescrever integral tan^3(x) sec(x) , dx = integral tan(x) cdot tan^2(x) cdot sec(x) , dx como . Assim, temos:

Passo 3

Sabemos que integral tan(x) cdot (sec^2(x) - 1) cdot sec(x) , dx = integral tan(x) cdot sec^3(x) , dx - integral tan(x) cdot sec(x) , dx . Vamos substituir isso na integral:

Passo 4

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente. Começando por u = sec(x) Rightarrow du = sec(x) tan(x) , dx , podemos usar a substituição:
integral u^2 , du = u^33 + C = sec^3(x)3 + C
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, para a integral u = sec(x) Rightarrow du = sec(x) tan(x) , dx , usamos a mesma substituição:
integral du = u + C = sec(x) + C
Assim, a integral fica:

Passo 6

Voltando à expressão original, temos:
integral tan^3(x) sec(x) , dx = sec^3(x)3 - sec(x) + C

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral . Esse é um caso de integração por partes, onde precisamos identificar as partes da função para aplicar a fórmula.

Passo 8

A fórmula de integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
u = x Rightarrow du = dx
dv = e^2x , dx Rightarrow v = e^2x2

Passo 9

Aplicando a fórmula:
integral x e^2x , dx = uv - integral v , du = x cdot e^2x2 - integral e^2x2 , dx

Passo 10

Resolvendo a segunda integral:
integral e^2x2 , dx = 12 cdot e^2x2 = e^2x4

Passo 11

Substituindo de volta na expressão:
integral x e^2x , dx = x e^2x2 - e^2x4 + C

Passo 12

Podemos fatorar integral x e^2x , dx = e^2x2 (x - 12) + C para simplificar:

Resposta

e^2x2 (x - 12) + C

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