Resolva as integrais das funções trigonométricas usando a Substituição Universal
:
a)
a)
Passo 1
E aí! Vamos resolver essa integral trigonométrica usando a Substituição Universal, que é quando a gente define
. O problema que temos aqui é calcular a integral de
em relação a
. Para isso, vamos precisar transformar a expressão usando essa substituição e simplificar para encontrar a antiderivada.
Passo 2
Primeiro, vamos definir
. Aí, precisamos expressar
e
em termos de
.
Sabemos que:
e
Passo 3
Agora, substituímos essas expressões na integral original:
Passo 4
Vamos simplificar o denominador da fração dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Simplificando as frações:
Passo 6
Vamos decompor a fração usando frações parciais. Procuramos
e
tais que:
Resolvendo, encontramos que
,
,
, e
. Então a integral fica:
Passo 7
Agora, integramos termo a termo:
Passo 8
Juntando tudo:
onde
é a constante de integração.
Passo 9
Finalmente, substituímos
de volta:
Simplificando:
Resposta
A integral de
é:
onde
é a constante de integração.