Resolva as integrais das funções trigonométricas usando a Substituição Universal t=tan (x2) :
a) integral sin (x) d x1+sin (x)

Passo 1

E aí! Vamos resolver essa integral trigonométrica usando a Substituição Universal, que é quando a gente define . O problema que temos aqui é calcular a integral de em relação a . Para isso, vamos precisar transformar a expressão usando essa substituição e simplificar para encontrar a antiderivada.

Passo 2

Primeiro, vamos definir sin(x) = 2t1 + t^2 . Aí, precisamos expressar dx = 21 + t^2 dt e em termos de .
Sabemos que:
e

Passo 3

Agora, substituímos essas expressões na integral original:
integral sin(x)1 + sin(x) dx = integral 2t1 + t^21 + 2t1 + t^2 cdot 21 + t^2 dt

Passo 4

Vamos simplificar o denominador da fração dentro da integral:
1 + 2t1 + t^2 = (1 + t^2) + 2t1 + t^2 = 1 + 2t + t^21 + t^2
Então, a integral fica:
integral 2t1 + t^21 + 2t + t^21 + t^2 cdot 21 + t^2 dt = integral 2t1 + 2t + t^2 cdot 21 + t^2 dt

Passo 5

Simplificando as frações:
2t1 + 2t + t^2 cdot 21 + t^2 = 4t(1 + t)^2 (1 + t^2)

Passo 6

Vamos decompor a fração usando frações parciais. Procuramos 4t(1 + t)^2 (1 + t^2) = A1 + t + B(1 + t)^2 + Ct + D1 + t^2 e integral ( 4(1 + t)^2 + -4t + 41 + t^2 ) dt tais que:
Resolvendo, encontramos que , , , e . Então a integral fica:

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
integral 4(1 + t)^2 dt = -41 + t
integral -4t1 + t^2 dt = -2 ln|1 + t^2|
integral 41 + t^2 dt = 4 arctan(t)

Passo 8

Juntando tudo:
-41 + t - 2 ln|1 + t^2| + 4 arctan(t) + C
onde é a constante de integração.

Passo 9

Finalmente, substituímos -41 + tan(x2) - 2 ln(1 + tan^2(x2)) + 4 arctan(tan(x2)) + C de volta:
-41 + tan(x2) - 2 ln(sec^2(x2)) + 2x + C
Simplificando:

Resposta

A integral de - 41 + tan(x2) - 2 ln(sec^2(x2)) + 2x + C é:
onde é a constante de integração.

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