Resolva as integrais das funções racionais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve funções racionais, que é quando a função que estamos integrando é um quociente de dois polinômios. Para resolver, vamos usar a técnica de frações parciais, que ajuda a decompor a fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos decompôr a fração
em frações parciais. A ideia é escrever essa fração como a soma de frações mais simples. Como o denominador tem fatores
e
, assumimos a forma:
Aqui,
,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
,
,
e
. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Vamos expandir e simplificar o lado direito:
- Expande
, então:
- Expande
:
-
permanece:
Agora, juntamos tudo:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de
em ambos os lados:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Termo constante:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações para encontrar
,
,
e
.
- Da primeira equação:
- Substituímos
na terceira equação:
- Agora, sabemos que
. Substituímos e na segunda equação:
- Finalmente, substituímos
, e na quarta equação:
Então:
Passo 5
Agora que temos os valores das constantes, substituímos de volta na decomposição das frações parciais:
Simplificando:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
-
: Podemos dividir essa fração:A primeira parte é uma derivada direta:A segunda parte é a integral da função arco-tangente: -
-
: Fazendo uma substituição, temos:
Resposta
Juntando tudo, a integral fica:
Onde
é a constante de integração.
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a)
a)
Determine o domínio da função: