Resolva as integrais das funções racionais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve funções racionais, que é quando a função que estamos integrando é um quociente de dois polinômios. Para resolver, vamos usar a técnica de frações parciais, que ajuda a decompor a fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos decompôr a fração em frações parciais. A ideia é escrever essa fração como a soma de frações mais simples. Como o denominador tem fatores e , assumimos a forma:
Aqui, , , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de , , e . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Vamos expandir e simplificar o lado direito:
  1. Expande , então:
  1. Expande :
  1. permanece:
Agora, juntamos tudo:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de em ambos os lados:
  1. Coeficiente de :
  1. Coeficiente de :
  1. Coeficiente de :
  1. Termo constante:

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações para encontrar , , e .
  1. Da primeira equação:
  1. Substituímos na terceira equação:
  1. Agora, sabemos que . Substituímos e na segunda equação:
  1. Finalmente, substituímos , e na quarta equação:
Então:

Passo 5

Agora que temos os valores das constantes, substituímos de volta na decomposição das frações parciais:
Simplificando:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
  1. :
    Podemos dividir essa fração:
    A primeira parte é uma derivada direta:
    A segunda parte é a integral da função arco-tangente:
  2. :
    Fazendo uma substituição , temos:

Resposta

Juntando tudo, a integral fica:
Onde é a constante de integração.

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a)
Determine o domínio da função: