Resolva as integrais das funções racionais: integral (x^2-2 x+3) d x(x^2+1)(x-1)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve funções racionais, que é quando a função que estamos integrando é um quociente de dois polinômios. Para resolver, vamos usar a técnica de frações parciais, que ajuda a decompor a fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos decompôr a fração x^2 - 2x + 3(x^2 + 1)(x - 1)^2 = A x + Bx^2 + 1 + Cx - 1 + D(x - 1)^2 em frações parciais. A ideia é escrever essa fração como a soma de frações mais simples. Como o denominador tem fatores e , assumimos a forma:
Aqui, , , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de x^2 - 2x + 3 = (A x + B)(x - 1)^2 + C(x^2 + 1)(x - 1) + D(x^2 + 1) , (A x + B)(x^2 - 2x + 1) = A x^3 - 2A x^2 + A x + B x^2 - 2B x + B , C(x^3 - x^2 + x - 1) = C x^3 - C x^2 + C x - C e D x^2 + D . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum x^2 - 2x + 3 = (A x^3 - 2A x^2 + A x + B x^2 - 2B x + B) + (C x^3 - C x^2 + C x - C) + (D x^2 + D) :
x^2 - 2x + 3 = (A + C) x^3 + (-2A + B - C + D) x^2 + (A - 2B + C) x + (B - C + D)
Vamos expandir e simplificar o lado direito:
  1. Expande A + C = 0 , então:
-2A + B - C + D = 1
  1. Expande A - 2B + C = -2 :
B - C + D = 3
  1. permanece:
Agora, juntamos tudo:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de em ambos os lados:
  1. Coeficiente de :
  1. Coeficiente de :
  1. Coeficiente de :
  1. Termo constante:

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações para encontrar A + C = 0 Rightarrow A = -C , (-C) - 2B + C = -2 Rightarrow -2B = -2 Rightarrow B = 1 , -2(-C) + 1 - C + D = 1 Rightarrow 2C + 1 - C + D = 1 Rightarrow C + D = 0 Rightarrow D = -C e 1 - C - C = 3 Rightarrow 1 - 2C = 3 Rightarrow -2C = 2 Rightarrow C = -1 .
  1. Da primeira equação:
A = -C = 1, B = 1, C = -1, D = -C = 1
  1. Substituímos na terceira equação:
  1. Agora, sabemos que . Substituímos e na segunda equação:
  1. Finalmente, substituímos , e na quarta equação:
Então:

Passo 5

Agora que temos os valores das constantes, substituímos de volta na decomposição das frações parciais:
x^2 - 2x + 3(x^2 + 1)(x - 1)^2 = 1 cdot x + 1x^2 + 1 + -1x - 1 + 1(x - 1)^2
Simplificando:
x + 1x^2 + 1 - 1x - 1 + 1(x - 1)^2
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
  1. integral xx^2 + 1 dx + integral 1x^2 + 1 dx :
    Podemos dividir essa fração:
    12 ln|x^2 + 1|
    A primeira parte é uma derivada direta:
    tan^-1(x)
    A segunda parte é a integral da função arco-tangente:
    -1x - 1
  2. :
    Fazendo uma substituição , temos:

Resposta

Juntando tudo, a integral fica:
12 ln|x^2 + 1| + tan^-1(x) - ln|x - 1| - 1x - 1 + C
Onde é a constante de integração.

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