Esboce o gráfico da função:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função . Aqui, estamos trabalhando com funções de duas variáveis, que envolvem conceitos de geometria espacial. Para isso, vamos precisar entender como essa função se comporta em relação aos valores de e .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte dentro da raiz quadrada: . Isso representa a distância do ponto até a origem (0,0) no plano XY. Portanto, a função nos dá a distância radial a partir do centro.

Passo 3

Agora, a função completa é . Isso significa que o valor de diminui conforme a distância aumenta. Quando a distância é zero (no centro), . À medida que nos afastamos do centro, diminui até chegar a zero.

Passo 4

Vamos descobrir onde . Igualando a função a zero:
Resolvendo para :
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Isso representa um círculo de raio 4 no plano XY. Portanto, o gráfico da função atinge zero nesse círculo.

Passo 5

O gráfico de será uma superfície tridimensional. No centro, onde e , o valor de é 4. Conforme nos afastamos desse ponto, a altura da superfície diminui linearmente até atingir zero na borda do círculo de raio 4.

Passo 6

Visualizando isso, a superfície se assemelha a um cone invertido com o vértice no ponto (0, 0, 4) e a base no círculo no plano .

Resposta

O gráfico da função é um cone invertido com vértice no ponto (0, 0, 4) e base no círculo de raio 4 no plano .

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