Esboce o gráfico da função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função
. Aqui, estamos trabalhando com funções de duas variáveis, que envolvem conceitos de geometria espacial. Para isso, vamos precisar entender como essa função se comporta em relação aos valores de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte dentro da raiz quadrada:
. Isso representa a distância do ponto
até a origem (0,0) no plano XY. Portanto, a função
nos dá a distância radial a partir do centro.
Passo 3
Agora, a função completa é
. Isso significa que o valor de
diminui conforme a distância
aumenta. Quando a distância é zero (no centro),
. À medida que nos afastamos do centro,
diminui até chegar a zero.
Passo 4
Vamos descobrir onde
. Igualando a função a zero:
Resolvendo para
:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Isso representa um círculo de raio 4 no plano XY. Portanto, o gráfico da função atinge zero nesse círculo.
Passo 5
O gráfico de
será uma superfície tridimensional. No centro, onde
e
, o valor de
é 4. Conforme nos afastamos desse ponto, a altura da superfície diminui linearmente até atingir zero na borda do círculo de raio 4.
Passo 6
Visualizando isso, a superfície se assemelha a um cone invertido com o vértice no ponto (0, 0, 4) e a base no círculo
no plano
.
Resposta
O gráfico da função
é um cone invertido com vértice no ponto (0, 0, 4) e base no círculo de raio 4 no plano
.
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a)
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