Resolva as integrais impróprias abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral imprópria . Essa questão está relacionada a integrais que envolvem raízes quadradas de expressões do tipo . Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição trigonométrica, que ajuda a simplificar integrais envolvendo expressões quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma da expressão dentro da raiz: pode ser escrita como . Isso se encaixa na forma , onde . Para facilitar a integração, vamos usar a substituição trigonométrica adequada para essa forma.

Passo 3

Para expressões do tipo , a substituição trigonométrica que usamos é . Então, vamos substituir por :
Agora, vamos calcular , que é a derivada de em relação a :

Passo 4

Substituindo e na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Agora, a integral fica:

Passo 5

Sabemos que , então substituindo:
A integral de é um pouco complicada, mas sabemos que:
E a integral de é:
Então, juntando tudo:
Simplificando:

Passo 6

Agora, precisamos voltar à variável original . Lembrando que fizemos a substituição , então:
Substituindo de volta:
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
sendo a função do item (j)
Consul
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Calcule as integrais impróprias, caso sejam convergentes:
Considere a função definida por .
Determine a função primitiva de ;