Beleza, vamos resolver a integral imprópria . Essa questão está relacionada a integrais que envolvem raízes quadradas de expressões do tipo . Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição trigonométrica, que ajuda a simplificar integrais envolvendo expressões quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma da expressão dentro da raiz: pode ser escrita como . Isso se encaixa na forma , onde . Para facilitar a integração, vamos usar a substituição trigonométrica adequada para essa forma.
Passo 3
Para expressões do tipo , a substituição trigonométrica que usamos é . Então, vamos substituir por :
Agora, vamos calcular , que é a derivada de em relação a :
Passo 4
Substituindo e na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Agora, a integral fica:
Passo 5
Sabemos que , então substituindo:
A integral de é um pouco complicada, mas sabemos que:
E a integral de é:
Então, juntando tudo:
Simplificando:
Passo 6
Agora, precisamos voltar à variável original . Lembrando que fizemos a substituição , então: