Resolva as integrais impróprias abaixo:
integral raizx^2-64 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral imprópria . Essa questão está relacionada a integrais que envolvem raízes quadradas de expressões do tipo . Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição trigonométrica, que ajuda a simplificar integrais envolvendo expressões quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma da expressão dentro da raiz: pode ser escrita como . Isso se encaixa na forma , onde . Para facilitar a integração, vamos usar a substituição trigonométrica adequada para essa forma.

Passo 3

Para expressões do tipo x = 8 sec(theta) , a substituição trigonométrica que usamos é dx = 8 sec(theta) tan(theta) , dtheta . Então, vamos substituir por :
Agora, vamos calcular , que é a derivada de em relação a :

Passo 4

Substituindo integral raizx^2 - 64 , dx = integral raiz(8 sec(theta))^2 - 64 cdot 8 sec(theta) tan(theta) , dtheta e raiz64 sec^2(theta) - 64 = raiz64 (sec^2(theta) - 1) = raiz64 tan^2(theta) = 8 tan(theta) na integral original:
integral 8 tan(theta) cdot 8 sec(theta) tan(theta) , dtheta = 64 integral tan^2(theta) sec(theta) , dtheta
Simplificando dentro da raiz:
Agora, a integral fica:

Passo 5

Sabemos que 64 integral (sec^2(theta) - 1) sec(theta) , dtheta = 64 integral sec^3(theta) - sec(theta) , dtheta , então substituindo:
integral sec^3(theta) , dtheta = 12 sec(theta) tan(theta) + 12 ln |sec(theta) + tan(theta)| + C
A integral de integral sec(theta) , dtheta = ln |sec(theta) + tan(theta)| + C é um pouco complicada, mas sabemos que:
64 ( 12 sec(theta) tan(theta) + 12 ln |sec(theta) + tan(theta)| - ln |sec(theta) + tan(theta)| ) + C
E a integral de 32 sec(theta) tan(theta) - 32 ln |sec(theta) + tan(theta)| + C é:
Então, juntando tudo:
Simplificando:

Passo 6

Agora, precisamos voltar à variável original sec(theta) = x8 e tan(theta) = raizsec^2(theta) - 1 = raiz(x8)^2 - 1 = raizx^2 - 648 . Lembrando que fizemos a substituição 32 cdot x8 cdot raizx^2 - 648 - 32 ln | x8 + raizx^2 - 648 | + C , então:
32x raizx^2 - 6464 - 32 ln | x + raizx^2 - 648 | + C = x raizx^2 - 642 - 32 ln | x + raizx^2 - 648 | + C
Substituindo de volta:
Simplificando:

Resposta

A integral x raizx^2 - 642 - 32 ln | x + raizx^2 - 648 | + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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