Calcule as integrais impróprias, caso sejam convergentes:
integral-infty^0 d xx^2+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral imprópria integral-infty^0 dxx^2+1. Isso está ligado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente às integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar conhecer a antiderivada da função 1x^2+1 e entender como lidar com limites que envolvem infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a antiderivada de 1x^2+1. Sabemos que:
integral 1x^2+1 dx = arctan(x) + C
Aqui, usamos a função arco-tangente porque a derivada de arctan(x) é 1x^2+1.

Passo 3

Como a integral é imprópria devido ao limite inferior ser -infty, precisamos calcular o limite:
lima to -infty integrala^0 1x^2+1 dx
Substituindo a antiderivada, temos:
lima to -infty [arctan(0) - arctan(a)]

Passo 4

Sabemos que arctan(0) = 0. Agora, precisamos calcular lima to -infty arctan(a). Lembrando que:
limx to -infty arctan(x) = -pi2

Passo 5

Substituindo os valores, temos:
0 - (-pi2) = pi2

Resposta

A integral imprópria integral-infty^0 dxx^2+1 converge e seu valor é pi2.

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