Calcule as integrais impróprias, caso sejam convergentes:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral imprópria . Isso está ligado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente às integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar conhecer a antiderivada da função e entender como lidar com limites que envolvem infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a antiderivada de . Sabemos que:
Aqui, usamos a função arco-tangente porque a derivada de é .

Passo 3

Como a integral é imprópria devido ao limite inferior ser , precisamos calcular o limite:
Substituindo a antiderivada, temos:

Passo 4

Sabemos que . Agora, precisamos calcular . Lembrando que:

Passo 5

Substituindo os valores, temos:

Resposta

A integral imprópria converge e seu valor é .

Exercícios relacionados

Resolva as integrais impróprias abaixo:
Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
sendo a função do item (j)
Considere a função definida por .
Determine a função primitiva de ;
Resolva as integrais impróprias abaixo: