Calcule as integrais impróprias, caso sejam convergentes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral imprópria
. Isso está ligado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente às integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar conhecer a antiderivada da função
e entender como lidar com limites que envolvem infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a antiderivada de
. Sabemos que:
Aqui, usamos a função arco-tangente porque a derivada de
é
.
Passo 3
Como a integral é imprópria devido ao limite inferior ser
, precisamos calcular o limite:
Substituindo a antiderivada, temos:
Passo 4
Sabemos que
. Agora, precisamos calcular
. Lembrando que:
Passo 5
Substituindo os valores, temos:
Resposta
A integral imprópria
converge e seu valor é
.
Exercícios relacionados
Resolva as integrais impróprias abaixo:
Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
sendo
a função do item (j)
Considere a função
definida por
.
Determine a função primitiva de ;
Determine a função primitiva de
Resolva as integrais impróprias abaixo: